holomorphe Fortsetzung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:49 Sa 18.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | $f$ sei auf [mm] $D_r(z_0)\backslash\{z_0\}$ [/mm] holomorph. Weiter gelte
[mm] $\exists\,C>0\;\wedge\;\exists\,\varepsilon>0:\left|f(z)\right|\leqslant C\left|z-z_0\right|^{-\varepsilon}$
[/mm]
Zeige: $f$ ist in den Punkt [mm] $z_0$ [/mm] holomorph fortsetzbar. |
Hallo an alle,
hat jemand eine Idee, wir ich an die obige Aufgabe herangehen muss?
Danke und Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:36 So 19.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Da stimmt etwas nicht !
Sei $f(z) = 1/z$ und [mm] z_0 [/mm] =0
Dann gilt: $ [mm] \exists\,C>0\;\wedge\;\exists\,\varepsilon>0:\left|f(z)\right|\leqslant C\left|z-z_0\right|^{-\varepsilon} [/mm] $
mit C = 1 und [mm] \varepsilon [/mm] = 1.
f ist aber nicht holomorph fortsetzbar in [mm] z_0
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 So 19.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Klingt plausibel und Dein Gegenbeispiel ist ein optimales Gegenbeispiel für die Aussage! Sehr eigenartig.
Fred, vielen Dank nochmal.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:56 Mo 20.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> Da stimmt etwas nicht !
>
>
> Sei [mm]f(z) = 1/z[/mm] und [mm]z_0[/mm] =0
>
>
> Dann gilt:
> [mm]\exists\,C>0\;\wedge\;\exists\,\varepsilon>0:\left|f(z)\right|\leqslant C\left|z-z_0\right|^{-\varepsilon}[/mm]
>
> mit C = 1 und [mm]\varepsilon[/mm] = 1.
Das stimmt. Wenn man aber nicht nur [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, sondern auch noch [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$ fordert, sollte es gehen, denke ich. Vielleicht hat der Aufgabensteller nicht daran gedacht, dass [mm] $\varepsilon$ [/mm] auch 'gross' sein kann? (Das [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ist braucht man auch nicht wirklich, eigentlich reicht es [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$ vorauszusetzen.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:39 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Das stimmt. Wenn man aber nicht nur [mm]\varepsilon > 0[/mm],
> sondern auch noch [mm]\varepsilon < 1[/mm] fordert, sollte es gehen,
> denke ich.
das kann eventuell sein. Wie lässt sich die Aussage denn unter dieser Bedingung zeigen?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Gar nicht. Beispiel:
Sei [mm] z_0 [/mm] = 0 und r = 1, also [mm] D_r(z_0) [/mm] = { z [mm] \in \IC: [/mm] |z|<1 }. Auf [mm] D_r(z_0) [/mm] gibt es eine holomorphe funktion g mit [mm] g(z)^2 [/mm] = z
sei f(z) = 1/g(z)
Dann isz |f(z)| = [mm] |z|^{-1/2}
[/mm]
f lässt sich aber nicht holomorph in 0 fortsetzen, anderenfalls wäre auch [mm] f^2(z) [/mm] = [mm] 1/z^2 [/mm] fortsetzbar.
FRED
P:S:
Was ich oben für [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2 gemacht habe geht allgemeiner für [mm] \varepsilon [/mm] = 1/n (n [mm] \in \IN):
[/mm]
Sei $ [mm] z_0 [/mm] $ = 0 und r = 1, also [mm] D_r(z_0) [/mm] = { z [mm] \in \IC: [/mm] |z|<1 }. Auf $ [mm] D_r(z_0) [/mm] $ gibt es eine holomorphe funktion g mit $ [mm] g(z)^n [/mm] $ = z
sei f(z) = 1/g(z)
Dann isz |f(z)| = $ [mm] |z|^{-1/n} [/mm] $
f lässt sich aber nicht holomorph in 0 fortsetzen, anderenfalls wäre auch $ [mm] f^n(z) [/mm] $ = $ [mm] 1/z^n [/mm] $ fortsetzbar.
EDIT: inzwischen hat mich felixf auf einen Fehler in der obigen Argumentation aufmerksam gemacht. Meine Ausführungen kann man getrost in den Mülleimer werfen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Mo 20.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Fred!
> Gar nicht. Beispiel:
>
> Sei [mm]z_0[/mm] = 0 und r = 1, also [mm]D_r(z_0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\{$ z [mm]\in \IC:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
|z|<1
> $\}$. Auf [mm]D_r(z_0)[/mm] gibt es eine holomorphe funktion g mit
> [mm]g(z)^2[/mm] = z
Das glaub ich jetzt aber nicht! So eine Funktion kann es nicht geben, nichtmals als stetige Funktion, dazu reicht es einfach [mm] $\frac{1}{2} e^{i t}$ [/mm] einzusetzen, $t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]$: [/mm] das Bild davon muesste ein halber Kreisring sein (entweder die obere oder die untere Haelfte). Aus Stetigkeitsgruenden muesste aber ein geschlossener Weg herauskommen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:53 Di 21.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
>
> > Gar nicht. Beispiel:
> >
> > Sei [mm]z_0[/mm] = 0 und r = 1, also [mm]D_r(z_0)[/mm] = [mm]\{[/mm] z [mm]\in \IC:[/mm] |z|<1
> > [mm]\}[/mm]. Auf [mm]D_r(z_0)[/mm] gibt es eine holomorphe funktion g mit
> > [mm]g(z)^2[/mm] = z
>
> Das glaub ich jetzt aber nicht! So eine Funktion kann es
> nicht geben, nichtmals als stetige Funktion, dazu reicht es
> einfach [mm]\frac{1}{2} e^{i t}[/mm] einzusetzen, [mm]t \in [0, 2 \pi][/mm]:
> das Bild davon muesste ein halber Kreisring sein (entweder
> die obere oder die untere Haelfte). Aus Stetigkeitsgruenden
> muesste aber ein geschlossener Weg herauskommen.
>
> LG Felix
>
Hallo Felix,
Du hast völlig recht
Gruß FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Nach allem was gesagt wurde kann ich mir nur vorstellen, dass die Aufgabe so lautet:
Aufgabe
$ f $ sei auf $ [mm] D_r(z_0)\backslash\{z_0\} [/mm] $ holomorph. Weiter gelte
(*) $ [mm] \exists\,C>0\;\wedge\;\exists\,\varepsilon<0:\left|f(z)\right|\leqslant C\left|z-z_0\right|^{-\varepsilon} [/mm] $
Zeige: $ f $ ist in den Punkt $ [mm] z_0 [/mm] $ holomorph fortsetzbar.
Dann ist die Lösung aber sehr einfach:
Aus (*) folgt:
[mm] \limes_{z\rightarrow z_0}f(z) [/mm] = 0
Aus dem Riemannschen Hebbarkeitssatz folgt dann die Behauptung
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mo 20.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Aufgabe
> [mm]f[/mm] sei auf [mm]D_r(z_0)\backslash\{z_0\}[/mm] holomorph. Weiter
> gelte
>
> (*)
> [mm]\exists\,C>0\;\wedge\;\exists\,\varepsilon<0:\left|f(z)\right|\leqslant C\left|z-z_0\right|^{-\varepsilon}[/mm]
>
> Zeige: [mm]f[/mm] ist in den Punkt [mm]z_0[/mm] holomorph fortsetzbar.
Nehmen wir mal an, dass alles so gilt, ausser das wir ein [mm] $\varepsilon \in [/mm] [0, 1)$ haben.
Dann kann man sich die Funktion $g(z) := f(z) (z - [mm] z_0)$ [/mm] definieren fuer $z [mm] \neq z_0$ [/mm] und [mm] $g(z_0) [/mm] := 0$. Diese ist auf [mm] $D_r(z_0) \setminus \{ z_0 \}$ [/mm] offenbar holomorph.
Weiter gilt jedoch fuer $z [mm] \in D_r(z_0)$, [/mm] dass $|g(z)| [mm] \le [/mm] |z - [mm] z_0| \cdot [/mm] C [mm] \cdot [/mm] |z - [mm] z_0|^{-\varepsilon} [/mm] = C [mm] \cdot [/mm] |z - [mm] z_0|^{1 - \varepsilon}$ [/mm] ist. Da $1 - [mm] \varepsilon [/mm] > 0$ ist, gilt also [mm] $\lim_{z \to z_0} [/mm] g(z) = 0$. Damit laesst sich $g$ nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz auf [mm] $D_r(z_0)$ [/mm] holomorph fortsetzen.
Insbesondere hat $g$ eine Potenzreihenentwicklung um [mm] $z_0$, [/mm] etwa $g(z) = [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n [/mm] (z - [mm] z_0)^n$. [/mm] Da [mm] $g(z_0) [/mm] = 0$ ist folgt [mm] $a_0 [/mm] = 0$. Damit ist die Funktion [mm] $\frac{g(z)}{z - z_0} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} [/mm] (z - [mm] z_0)^n$ [/mm] holomorph auf [mm] $D_r(z_0)$ [/mm] und stimmt auf [mm] $D_r(z_0) \setminus \{ z_0 \}$ [/mm] mit $f$ ueberein, womit es eine Fortsetzung von $f$ ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
danke fuer eure Antworten und Ueberlegungen. Zusammengefasst muss also
[mm] $\varepsilon<1$ [/mm] und [mm] $\varepsilon\neq [/mm] 0$
gelten, richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mi 22.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Was steht da für [mm] \varepsilon [/mm] = 0 ? Das:
$|f(z)| [mm] \le [/mm] C$ für z [mm] \in [/mm] $ [mm] D_r(z_0)\backslash\{z_0\} [/mm] $
D.h. f ist auf $ [mm] D_r(z_0)\backslash\{z_0\} [/mm] $ beschränkt. Was sagt Riemann dazu ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
TAUSEND DANK
|
|
|
|
