holomorphe Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Do 11.05.2006 | | Autor: | susi2006 |
| Aufgabe | Begründe , ob es eine Funktion [mm] f:U_{1}(0)\to\IC [/mm] gibt, die in den Punkten [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] , [mm] n\in\IN^{+} [/mm] der Reihe nach die folgenden Werte:
a) 0;1;0;1;0....
b) [mm] \bruch{1}{2};\bruch{1}{2};\bruch{1}{4};\bruch{1}{4};\bruch{1}{6};\bruch{1}{6}; [/mm] ...
annimmt?
c) eine holomorphe Funktion (wie oben) mit: [mm] f(\bruch{1}{k})=f(-\bruch{1}{k})=\bruch{1}{k^{2}} [/mm] für k= 2,3,4,5,...
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Hallo!
Ich hätte gerne einmal zur obigen Aufgabe eine Idee, wie ich die Sache anzupacken habe. Ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll.
Vielen Dank dafür!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Do 11.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Begründe , ob es eine Funktion [mm]f:U_{1}(0)\to\IC[/mm] gibt, die
> in den Punkten [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] , [mm]n\in\IN^{+}[/mm] der Reihe nach
> die folgenden Werte:
>
> a) 0;1;0;1;0....
>
> b)
> [mm]\bruch{1}{2};\bruch{1}{2};\bruch{1}{4};\bruch{1}{4};\bruch{1}{6};\bruch{1}{6};[/mm]
> ...
>
> annimmt?
>
> c) eine holomorphe Funktion (wie oben) mit:
> [mm]f(\bruch{1}{k})=f(-\bruch{1}{k})=\bruch{1}{k^{2}}[/mm] für k=
> 2,3,4,5,...
>
>
> Hallo!
>
> Ich hätte gerne einmal zur obigen Aufgabe eine Idee, wie
> ich die Sache anzupacken habe. Ich weiß nicht wie ich hier
> vorgehen soll.
Stichwort: Identitaetssatz.
Bei Aufgabe b) und c): Schau dir eine Funktion auf [mm] $U_1(0) \setminus \{ 0 \}$ [/mm] an, die dazupasst (zumindest zu einer Teilfolge, bei b)).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Fr 12.05.2006 | | Autor: | susi2006 |
Hallo!
Erst einmal danke für die schnelle Antwort. Ich habe mir zu der Aufgabe jetzt ein paar Lösungen überlelgt, bin aber noch sehr unsicher.
Zu a),b): Die Menge [mm] \{\bruch{1}{n+1}\} [/mm] ist Teilmenge von [mm] U_{1}(0) [/mm] und hat einen Häufungspunkt bei 0. Da 0 [mm] \in U_{1}(0), [/mm] sind die Vorraussetzungen für den Idenditätssatz bei a),b) gegeben.
zu a) Eine Funktion, welche an den Stellen [mm] f(\bruch{1}{2})=f(\bruch{1}{4})=..=0 [/mm] wäre die Funktion [mm] f(z)\equiv0. [/mm] Für f(z) gilt aber: [mm] f(\bruch{1}{3})\not=0. [/mm]
Folgt dann hieraus es gibt keine Funktion mit den geforderten Eigenschaften?
Ich weiß nicht, wie ich mir so eine Funktion basteln kann, oder wann ich merke, es könnte eine geben oder nicht
zu b) Keine Ahnung, wie man sich solch eine Funktion überlegen soll?
zu c) Die Funktion [mm] f(z)=z^{2} [/mm] erfüllt die geforderten Eigenschaften. Aber mir ist nicht klar, wie hier der Identitätssatz greift.
Die Menge [mm] \{\bruch{1}{k}\} [/mm] ist Teilmenge von [mm] U_{1}(0) [/mm] und hat Häufungspunkt 0. Es gilt 0 [mm] \in U_{1}(0). [/mm] Also die Vorraussetzungen für den Identitätssatz sind erfüllt. Aber die Funktion [mm] f(\bruch{1}{k})=\bruch{1}{k^{2}} [/mm] mit k=2,3,4,... ist doch nicht holomorph und nicht einmal stetig!
Der Identitätssatz sagt doch aus: Sei [mm] f,g:D\to\IC [/mm] eine HOLOMORPHE Funktion und M ein Teilmenge von D, welche in D mindestens einen Häufungspunkt besitzt....
Vielen Dank für eine Antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Sa 13.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Susi!
> Erst einmal danke für die schnelle Antwort. Ich habe mir
> zu der Aufgabe jetzt ein paar Lösungen überlelgt, bin aber
> noch sehr unsicher.
>
> Zu a),b): Die Menge [mm]\{\bruch{1}{n+1}\}[/mm] ist Teilmenge von
> [mm]U_{1}(0)[/mm] und hat einen Häufungspunkt bei 0. Da 0 [mm]\in U_{1}(0),[/mm]
> sind die Vorraussetzungen für den Idenditätssatz bei a),b)
> gegeben.
>
> zu a) Eine Funktion, welche an den Stellen
> [mm]f(\bruch{1}{2})=f(\bruch{1}{4})=..=0[/mm] wäre die Funktion
> [mm]f(z)\equiv0.[/mm] Für f(z) gilt aber: [mm]f(\bruch{1}{3})\not=0.[/mm]
> Folgt dann hieraus es gibt keine Funktion mit den
> geforderten Eigenschaften?
> Ich weiß nicht, wie ich mir so eine Funktion basteln kann,
> oder wann ich merke, es könnte eine geben oder nicht
>
> zu b) Keine Ahnung, wie man sich solch eine Funktion
> überlegen soll?
Bei a) und b) gehst du wie folgt vor:
Du schaust dir die Folgen [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{2 n - 1}$ [/mm] und [mm] $b_n [/mm] = [mm] \frac{1}{2 n}$ [/mm] an; fuer beide gilt [mm] $\lim a_n [/mm] = 0 = [mm] \lim b_n$.
[/mm]
Jetzt schaust du dir an, welchen Funktionswert die Funktion fuer $x = [mm] a_n$ [/mm] annehmen soll. Daraus kannst du dir eine Vorschrift [mm] $f_1(x) [/mm] = ...$ ausrechnen.
Analog findest du fuer $x = [mm] b_n$ [/mm] eine Funktionsforschrift [mm] $f_2(x) [/mm] = ...$.
Nach dem Identitaetssatz muss dann [mm] $f_1 \equiv [/mm] f [mm] \equiv f_2$ [/mm] sein; du wirst aber schnell sehen, dass [mm] $f_1 \not\equiv f_2$ [/mm] ist, womit es keine solche Funktion geben kann.
Zum Thema wie man die Funktionsvorschriften findet: Angenommen, du hast eine Funktion $f$, die an den Stellen [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] die Werte [mm] $\frac{1}{1 + n}$ [/mm] annimmt. Ist $x = [mm] \frac{1}{n}$, [/mm] so ist $n = [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] (Umformen) und somit $f(x) = [mm] \frac{1}{1 + n} [/mm] = [mm] \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{x + 1}{x}} [/mm] = [mm] \frac{x}{1 + x}$. [/mm] Das die Funktion in [mm] $U_1(0)$ [/mm] holomorph ist sieht man sofort.
Bei b) hast du bei einer der Funktionen das Problem, dass die Funktion nicht auf ganz [mm] $U_1(0)$ [/mm] holomorph ist. Du kannst trotzdem genauso argumentieren, indem du sagst das du dir die Funktionen nur auf [mm] $U_1(0) \setminus \{ p \}$ [/mm] anschaust fuer einen Punkt $p [mm] \in \IC$ [/mm] mit $p [mm] \neq [/mm] 0$: Dort muessten die Funktionen dann ebenfalls identisch sein (wegen dem Identitaetssatz), und wenn es da schon nicht klappt, kann es auf der gesamten Kreisscheibe [mm] $U_1(0)$ [/mm] erst recht nicht klappen...
> zu c) Die Funktion [mm]f(z)=z^{2}[/mm] erfüllt die geforderten
> Eigenschaften. Aber mir ist nicht klar, wie hier der
> Identitätssatz greift.
Ich hatte mich bei der Aufgabenstellung verlesen. Die von dir angegebene Funktion erfuellt natuerlich die Bedingung und somit gibt es eine solche Funktion 
Nach dem Identitaetssatz ist die Funktion sogar eindeutig, d.h. es gibt nur eine holomorphe Funktion [mm] $U_1(0) \to \IC$ [/mm] welche diese Bedingung erfuellt.
> Aber die Funktion [mm]f(\bruch{1}{k})=\bruch{1}{k^{2}}[/mm] mit
> k=2,3,4,... ist doch nicht holomorph und nicht einmal
> stetig!
Das ist auch keine Funktionsdefinition fuer eine Funktion auf [mm] $U_1(0)$, [/mm] sondern eine Vorschrift fuer eine Definition [mm] $\{ \frac{1}{k} \mid k = 2, 3, 4, \dots \} \to \IC$. [/mm] Du suchst eine Funktion auf ganz [mm] $U_1(0)$, [/mm] die in den Punkten [mm] $\frac{1}{k}$, [/mm] $k = 2, 3, [mm] \dots$ [/mm] die Funktionswerte [mm] $\frac{1}{k^2}$ [/mm] annimmt! Und die hast du mit $z [mm] \mapsto z^2$ [/mm] ja schon gefunden...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Mo 15.05.2006 | | Autor: | susi2006 |
Hallo Felix!
Vielen Dank für die gute Erklärung!
Ich habe noch eine Frage, was mir nicht ganz klar ist, da es eigentlich den Identitätsatz wiedersprechen sollte.
Ich hab mir folgendes überlegt:
Die Vorraussetzungen seien wie in der Aufgabenstellung. Also gesucht eine holomorphe Funktion f: [mm] U_{1}(0)\to\IC [/mm] mit:
[mm] f(\bruch{1}{n})=f(-\bruch{1}{n})=0 [/mm] n=2,3,4,....
Eine solche Funktion wäre doch: [mm] f(z)\equiv0 [/mm] ABER
auch die Funktion: [mm] g(z)=sin(\bruch{\pi}{z}) [/mm] erfüllt die geforderte Bedingung. Aber natürlich ist [mm] f(z)\not=g(z)
[/mm]
Mir ist nicht klar, was hier falsch ist.
Vielen Dank für eine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mo 15.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Susi!
> Eine solche Funktion wäre doch: [mm]f(z)\equiv0[/mm] ABER
> auch die Funktion: [mm]g(z)=sin(\bruch{\pi}{z})[/mm]
> erfüllt die geforderte Bedingung. Aber natürlich ist
> [mm]f(z)\not=g(z)[/mm]
Vorsicht, dein $g$ ist nicht holomorph im Nullpunkt! Es hat dort sogar eine wesentliche Singularitaet... Damit kannst du den Identitaetssatz allerhoechstens auf das Gebiet [mm] $\IC \setminus \{ 0 \}$ [/mm] anwenden; die Folge haeuft sich jedoch in diesem Gebiet nicht (da sie gegen 0 konvergiert).
(Und da die Funktionen auf [mm] $\IC \setminus \{ 0 \}$ [/mm] nicht uebereinstimmen gibt es nach dem Identitaetssatz auch keine Folge, die sich in [mm] $\IC \setminus \{ 0 \}$ [/mm] haeuft und auf der die beiden Funktionen uebereinstimmen.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Mo 15.05.2006 | | Autor: | susi2006 |
Hallo Felix!
Schlußfolgere ich jetzt somit richtig, dass die gesuchte Funktion [mm] f(z)\equiv0 [/mm] ist, da wie du ja gesagt hast, g(z) die Vorraussetzungen nicht erfüllt und nach dem Identitätssatz ist auch [mm] f(z)\equiv0 [/mm] die einzige Funktion?
Danke!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mo 15.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Susi!
> Schlußfolgere ich jetzt somit richtig, dass die gesuchte
> Funktion [mm]f(z)\equiv0[/mm] ist, da wie du ja gesagt hast, g(z)
> die Vorraussetzungen nicht erfüllt und nach dem
> Identitätssatz ist auch [mm]f(z)\equiv0[/mm] die einzige Funktion?
Genau!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mo 15.05.2006 | | Autor: | susi2006 |
Hallo!
Ich hoffe, dass ich es jetzt kappiert habe. Ich würde nur gerne wissen, ob meine Argumentation so richtig ist.
Also es sei eine holomorphe Funktion [mm] f:U_{1}0\to\IC [/mm] gesucht, die in den Punkten [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] (mit n=1,2,3,4,...) die Werte 1,0,1,0,1,... annimmt.
Ich betrachte Teilfolgen: [mm] (a_{n})=\bruch{1}{2n} [/mm] und [mm] (b_{n})=\bruch{1}{2n+1} [/mm] die Mengen der Folgenglieder sind beides Teilmengen von [mm] U_{1}(0) [/mm] und haben beides Häufungspunkt 0.
Eine Funkion, die [mm] f(\bruch{1}{2n})=1 [/mm] erfüllt, ist [mm] f(z)\equiv1
[/mm]
Eine Funktion, die [mm] g(\bruch{1}{2n-1})=0 [/mm] erfüllt, ist [mm] g(z)\equiv0 [/mm] .
Nach Identitätsatz muss aber [mm] f(z)\equiv [/mm] g(z) sein.
Mein Problem dabei ist noch, dass es sich ja bei den beiden Folgen auch um verschiedenen Teilmengen der Folgeglieder handelt. Also einmal [mm] M_{1}=\{\bruch{1}{2n}\} [/mm] und [mm] M_{2}=\{\bruch{1}{2n+1}\} [/mm] . Beide haben zwar Häugungspunkt 0 aber [mm] M_{1}\not=M_{2}
[/mm]
Lässt also der Identitätsatz unterschiedliche Teilmengen zu, sie müssen nur den gleichen Häufungspunkt haben um diesen anwenden zu können?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 Di 16.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Susi!
> Ich hoffe, dass ich es jetzt kappiert habe. Ich würde nur
> gerne wissen, ob meine Argumentation so richtig ist.
> Also es sei eine holomorphe Funktion [mm]f:U_{1}0\to\IC[/mm]
> gesucht, die in den Punkten [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] (mit
> n=1,2,3,4,...) die Werte 1,0,1,0,1,... annimmt.
>
> Ich betrachte Teilfolgen: [mm](a_{n})=\bruch{1}{2n}[/mm] und
> [mm](b_{n})=\bruch{1}{2n+1}[/mm] die Mengen der Folgenglieder sind
> beides Teilmengen von [mm]U_{1}(0)[/mm] und haben beides
> Häufungspunkt 0.
> Eine Funkion, die [mm]f(\bruch{1}{2n})=1[/mm] erfüllt, ist
> [mm]f(z)\equiv1[/mm]
> Eine Funktion, die [mm]g(\bruch{1}{2n-1})=0[/mm] erfüllt, ist
> [mm]g(z)\equiv0[/mm] .
Bisher ok.
> Nach Identitätsatz muss aber [mm]f(z)\equiv[/mm] g(z) sein.
Nein, das muss es nicht. Das muss es nur wenn es eine solche Funktion $h : [mm] U_1(0) \to \IC$ [/mm] mit den gewuenschten Eigenschaften oben gibt!
> Mein Problem dabei ist noch, dass es sich ja bei den beiden
> Folgen auch um verschiedenen Teilmengen der Folgeglieder
> handelt. Also einmal [mm]M_{1}=\{\bruch{1}{2n}\}[/mm] und
> [mm]M_{2}=\{\bruch{1}{2n+1}\}[/mm] . Beide haben zwar Häugungspunkt
> 0 aber [mm]M_{1}\not=M_{2}[/mm]
> Lässt also der Identitätsatz unterschiedliche Teilmengen
> zu, sie müssen nur den gleichen Häufungspunkt haben um
> diesen anwenden zu können?
Nein, das laesst er erstmal nicht zu.
Du musst hier etwas anders argumentieren:
Angenommen, es gebe eine Funktion $f : [mm] U_1(0)$ [/mm] mit [mm] $f(a_n) [/mm] = 0$ und [mm] $f(b_n) [/mm] = 1$ fuer alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Da sich [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] in [mm] $U_1(0)$ [/mm] haeuft folgt $f [mm] \equiv [/mm] 0$ auf [mm] $U_1(0)$. [/mm] Aber dann kann nicht [mm] $f(b_n) [/mm] = 1$ sein! Also kann es kein solches $f$ geben...
LG Felix
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