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| Aufgabe | Zeigen oder widerlegen sie:
Es gibt eine Funktion [mm] f:\IC\to \IC [/mm] mit f=u+iv holomorph und f ist nicht konstant. Dabei sind u,v [mm] \IC\to\IR [/mm] mit u>v |
Hallo!
Ich hab mir zur obigen Aufgabe folgendes überlegt. Würde aber gerne mal wissen, ob dass so möglich ist:
Also, wenn f holomorph ist, muss f die Cauchy-Riemann-Dgl erfüllen.
D.h.: [mm] \bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y} [/mm] und [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}
[/mm]
Da u=u(x,y) > v=v(x,y)
muss auch [mm] \bruch{\partial u}{\partial x}>\bruch{\partial v}{\partial x} [/mm] (1)
und [mm] \bruch{\partial u}{\partial y}>\bruch{\partial v}{\partial y} [/mm] (2) sein, oder???
Mit (1) mal (2) folgt:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}\bruch{\partial u}{\partial y} [/mm] > [mm] \bruch{\partial v}{\partial x}\bruch{\partial v}{\partial y}
[/mm]
Aber aus den C-R-Dgl folgt:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}\bruch{\partial u}{\partial y} [/mm] = [mm] \bruch{\partial v}{\partial y}\bruch{\partial u}{\partial y} [/mm] = [mm] -\bruch{\partial v}{\partial y}\bruch{\partial v}{\partial x} [/mm]
Lieg ich so richtig??
Vielen Dank für eine Antwort!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Do 01.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Susi!
> Zeigen oder widerlegen sie:
> Es gibt eine Funktion [mm]f:\IC\to \IC[/mm] mit f=u+iv holomorph
> und f ist nicht konstant. Dabei sind u,v [mm]\IC\to\IR[/mm] mit u>v
So eine Funktion gibt es definitiv nicht. Die Frage ist nur, wie ihr das zeigen koennt; ich weiss nicht was du an Apperat zur Verfuegung hast und eine ganz elementare Loesung faellt mir grad nicht ein.
Du weisst auf jeden Fall, dass $f$ die negative reelle Achse inkl. 0 nicht annimmt: Ist $f(z) = r [mm] \le [/mm] 0$, so ist $u(z) = r [mm] \le [/mm] 0 = v(z)$... Mit der gleichen Methode kannst du ein viel groesseres Gebiet angeben, welches $f$ nicht annehmen kann. Wenn ihr z.B. den Satz von Liouville zur Verfuegung habt, kannst du die Aufgabe damit loesen.
> Ich hab mir zur obigen Aufgabe folgendes überlegt. Würde
> aber gerne mal wissen, ob dass so möglich ist:
>
> Also, wenn f holomorph ist, muss f die Cauchy-Riemann-Dgl
> erfüllen.
> D.h.: [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y}[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}[/mm]
>
> Da u=u(x,y) > v=v(x,y)
> muss auch [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}>\bruch{\partial v}{\partial x}[/mm]
> (1)
> und [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}>\bruch{\partial v}{\partial y}[/mm]
> (2) sein, oder???
Nein, das stimmt nicht!!! Nimm z.B. $u(x, y) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 1$ und $v(x, y) = 0$ (das ergibt zwar keine holomorphe Funktion, erfuellt aber $u > v$).
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 03.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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