holomorphe Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:22 Mo 17.08.2009 | | Autor: | one |
| Aufgabe | Gibt es eine Umgebung U [mm] \subset\IC [/mm] von 0 [mm] \in \IC [/mm] und eine holomorphe Funktion f: U [mm] \to \IC [/mm] mit
[mm] (f(z))^2 [/mm] = 1 - cos(z) ?
Gibt es eine solche Funktion mit
[mm] (f(z))^2 [/mm] = sin(z)? |
In einer früheren Übung hatten wir eine ähnliche Aufgabe, bei der wir dann den Identiätssatz verwendeten. Deshalb habe ich gedacht, ob ich diesen hier auch wieder beiziehen kann?
Dieser lautet ja:
Seien f, g holom. in G.
{z: f(z) = g(z)} hat Häufungspunkt in G [mm] \gdw [/mm] f = g
Aber ich sehe nicht genau, wie ich diesen hier verwenden kann...
Oder soll ich einfach zeigen, dass [mm] \wurzel{1-cos(z)} [/mm] holomorph ist?
z.B. mit den Cauchy-Riemann-Gleichungen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Di 18.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gibt es eine Umgebung U [mm]\subset\IC[/mm] von 0 [mm]\in \IC[/mm] und eine
> holomorphe Funktion f: U [mm]\to \IC[/mm] mit
>
> [mm](f(z))^2[/mm] = 1 - cos(z) ?
>
> Gibt es eine solche Funktion mit
>
> [mm](f(z))^2[/mm] = sin(z)?
> In einer früheren Übung hatten wir eine ähnliche
> Aufgabe, bei der wir dann den Identiätssatz verwendeten.
> Deshalb habe ich gedacht, ob ich diesen hier auch wieder
> beiziehen kann?
Bei der zweiten Aufgabe geht es viel einfacher. Wenn $f : U [mm] \to \IC$ [/mm] holomorph ist mit $0 [mm] \in [/mm] U$, dann hat $f$ in $0$ eine Potenzreihenentwicklung $f(z) = [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$. [/mm] Jetzt rechne doch mal die Potenzreihenentwicklung von [mm] $(f(z))^2$ [/mm] aus (Cauchy-Produkt!) und vergleiche sie mit der Potenzreihenentwicklung von [mm] $\sin(z)$. [/mm] Kannst du [mm] $a_0, a_1$ [/mm] waehlen so dass die ersten Koeffizienten passen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Di 18.08.2009 | | Autor: | one |
Hallo,
> Bei der zweiten Aufgabe geht es viel einfacher. Wenn [mm]f : U \to \IC[/mm]
> holomorph ist mit [mm]0 \in U[/mm], dann hat [mm]f[/mm] in [mm]0[/mm] eine
> Potenzreihenentwicklung [mm]f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n[/mm].
> Jetzt rechne doch mal die Potenzreihenentwicklung von
> [mm](f(z))^2[/mm] aus (Cauchy-Produkt!) und vergleiche sie mit der
> Potenzreihenentwicklung von [mm]\sin(z)[/mm]. Kannst du [mm]a_0, a_1[/mm]
> waehlen so dass die ersten Koeffizienten passen?
Also ich habe mal das Cauchy-Produkt ausgerechnet:
[mm] (f(z))^2 [/mm] = [mm] (\summe_{n=0}^{\infty}a_n *z^n)^2 [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{k=0}^{n}a_k *a_{n-k})*z^n [/mm] = [mm] a_0 [/mm] * [mm] a_0 [/mm] * 1 + [mm] a_0 [/mm] * [mm] a_1 [/mm] * z + [mm] a_1 [/mm] * [mm] a_0 [/mm] * z [mm] +a_0*a_2 [/mm] * [mm] z^2 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] * [mm] a_1 [/mm] * [mm] z^2 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] * [mm] a_0 [/mm] * [mm] z^2 [/mm] + ...
Wenn ich nun die Koeffizienten mit der Potenzreihe vom Sinus vergleiche, erhalte ich, dass [mm] a_0 [/mm] = 0 ist. Somit würden dann ja auch die Koeffizienten von z wegfallen. Doch dies sollte nicht passieren.
Was ist hier schiefgelaufen?
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Hallo one,
> Hallo,
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> > Bei der zweiten Aufgabe geht es viel einfacher. Wenn [mm]f : U \to \IC[/mm]
> > holomorph ist mit [mm]0 \in U[/mm], dann hat [mm]f[/mm] in [mm]0[/mm] eine
> > Potenzreihenentwicklung [mm]f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n[/mm].
> > Jetzt rechne doch mal die Potenzreihenentwicklung von
> > [mm](f(z))^2[/mm] aus (Cauchy-Produkt!) und vergleiche sie mit der
> > Potenzreihenentwicklung von [mm]\sin(z)[/mm]. Kannst du [mm]a_0, a_1[/mm]
> > waehlen so dass die ersten Koeffizienten passen?
>
> Also ich habe mal das Cauchy-Produkt ausgerechnet:
>
> [mm](f(z))^2[/mm] = [mm](\summe_{n=0}^{\infty}a_n *z^n)^2[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{k=0}^{n}a_k *a_{n-k})*z^n[/mm] =
> [mm]a_0[/mm] * [mm]a_0[/mm] * 1 + [mm]a_0[/mm] * [mm]a_1[/mm] * z + [mm]a_1[/mm] * [mm]a_0[/mm] * z [mm]+a_0*a_2[/mm] *
> [mm]z^2[/mm] + [mm]a_1[/mm] * [mm]a_1[/mm] * [mm]z^2[/mm] + [mm]a_2[/mm] * [mm]a_0[/mm] * [mm]z^2[/mm] + ...
>
> Wenn ich nun die Koeffizienten mit der Potenzreihe vom
> Sinus vergleiche, erhalte ich, dass [mm]a_0[/mm] = 0 ist. Somit
> würden dann ja auch die Koeffizienten von z wegfallen.
> Doch dies sollte nicht passieren.
> Was ist hier schiefgelaufen?
Nun, aufgrund der Tatsache, daß die Potenzreihe des [mm]\sin\left(z\right)[/mm]
mit der ersten Potenz von z beginnt, muß ein anderer Ansatz gewählt werden.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Di 18.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
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> > Bei der zweiten Aufgabe geht es viel einfacher. Wenn [mm]f : U \to \IC[/mm]
> > holomorph ist mit [mm]0 \in U[/mm], dann hat [mm]f[/mm] in [mm]0[/mm] eine
> > Potenzreihenentwicklung [mm]f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n[/mm].
> > Jetzt rechne doch mal die Potenzreihenentwicklung von
> > [mm](f(z))^2[/mm] aus (Cauchy-Produkt!) und vergleiche sie mit der
> > Potenzreihenentwicklung von [mm]\sin(z)[/mm]. Kannst du [mm]a_0, a_1[/mm]
> > waehlen so dass die ersten Koeffizienten passen?
>
> Also ich habe mal das Cauchy-Produkt ausgerechnet:
>
> [mm](f(z))^2[/mm] = [mm](\summe_{n=0}^{\infty}a_n *z^n)^2[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{k=0}^{n}a_k *a_{n-k})*z^n[/mm] =
> [mm]a_0[/mm] * [mm]a_0[/mm] * 1 + [mm]a_0[/mm] * [mm]a_1[/mm] * z + [mm]a_1[/mm] * [mm]a_0[/mm] * z [mm]+a_0*a_2[/mm] *
> [mm]z^2[/mm] + [mm]a_1[/mm] * [mm]a_1[/mm] * [mm]z^2[/mm] + [mm]a_2[/mm] * [mm]a_0[/mm] * [mm]z^2[/mm] + ...
>
> Wenn ich nun die Koeffizienten mit der Potenzreihe vom
> Sinus vergleiche, erhalte ich, dass [mm]a_0[/mm] = 0 ist. Somit
> würden dann ja auch die Koeffizienten von z wegfallen.
> Doch dies sollte nicht passieren.
> Was ist hier schiefgelaufen?
Gar nichts. Du hast einen Widerspruchsbeweis konstruiert. Da die Folgerung offensichtlich falsch ist (die Potenzreihe von [mm] $f^2$ [/mm] fängt nicht mit z an), muss die Voraussetzung falsch sein. Also gibt es keine solche holomorphe Funktion f.
Etwas einfacher formuliert: wenn es eine solche holomorphe Funktion f gäbe, so müsste wegen $f(z)=0$ f eine Nullstelle n-ter Ordnung in 0 (für [mm] $n\ge [/mm] 1$) haben. Damit hätte [mm] $f(z)^2$ [/mm] eine Nullstelle der Ordnung [mm] $2n\ge [/mm] 2$. Da aber [mm] $\sin [/mm] z$ eine Nullstelle der Ordnung 1 hat, kann es eine solche holomorphe Funktion f nicht geben.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Di 18.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gibt es eine Umgebung U [mm]\subset\IC[/mm] von 0 [mm]\in \IC[/mm] und eine
> holomorphe Funktion f: U [mm]\to \IC[/mm] mit
>
> [mm](f(z))^2[/mm] = 1 - cos(z) ?
>
> Gibt es eine solche Funktion mit
>
> [mm](f(z))^2[/mm] = sin(z)?
> In einer früheren Übung hatten wir eine ähnliche
> Aufgabe, bei der wir dann den Identiätssatz verwendeten.
> Deshalb habe ich gedacht, ob ich diesen hier auch wieder
> beiziehen kann?
>
> Dieser lautet ja:
>
> Seien f, g holom. in G.
> {z: f(z) = g(z)} hat Häufungspunkt in G [mm]\gdw[/mm] f = g
>
> Aber ich sehe nicht genau, wie ich diesen hier verwenden
> kann...
> Oder soll ich einfach zeigen, dass [mm]\wurzel{1-cos(z)}[/mm]
> holomorph ist?
Dazu musst du erst einmal eine stetige Wurzelfunktion im Komplexen definieren. Das ist nicht so ganz trivial, wie das Beispiel mit dem Sinus zeigt.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Di 18.08.2009 | | Autor: | fred97 |
Gibt es eine solche Funktion mit
$ [mm] (f(z))^2 [/mm] = sin(z)$ ?
Nein, eine solche Funktion gibt es nicht:
Annahme, es gibt eine solche Funktion. Dann:
$ [mm] (f(0))^2 [/mm] = sin(0)= 0$ ,
also (*) $f(0)=0$
Differentiation von $ [mm] (f(z))^2 [/mm] = sin(z)$ liefert:
$2f(z)f'(z) = cos(z)$
Aus (*) folgt mit $z=0$ der Widerspruch $0=1$
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Di 18.08.2009 | | Autor: | fred97 |
Gibt es eine Umgebung U $ [mm] \subset\IC [/mm] $ von 0 $ [mm] \in \IC [/mm] $ und eine holomorphe Funktion f: U $ [mm] \to \IC [/mm] $ mit
$ [mm] (f(z))^2 [/mm] = 1 - cos(z)$ ?
Solch eine Funktion gibt es !
Beweis: Sei [mm] $\phi(z) [/mm] := 1-cos(z)$. Dann hat [mm] \phi [/mm] in 0 eine Nullstelle der Ordnung 2. Also ex. eine ganze Funktion g mit:
[mm] $\phi(z) [/mm] = z^2g(z)$ und $g(0) [mm] \not=0$
[/mm]
Dann gibt es eine offene Kreisscheibe $U [mm] \subset\IC [/mm] $ mit Mittelpunkt 0 , so dass
$g(z) [mm] \not=0$ [/mm] für jedes $z [mm] \in [/mm] U$
$g$ ist also auf $U$ nullstellenfrei und holomorph. Da U einfach zusammenhängend ist, gibt es eine auf $U$ holomorphe Funktion $h$ mit
[mm] $h^2 [/mm] = g$ auf $U$
Setze $f(z) := zh(z)$ ($z [mm] \in [/mm] U$)
Dann:
[mm] $(f(z))^2 [/mm] = [mm] z^2 h(z)^2 [/mm] = [mm] z^2 [/mm] g(z) = [mm] \phi(z) [/mm] = 1-cos(z)$
FRED
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