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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Fr 06.05.2011 | | Autor: | nhard |
Hallo!
Es die allg. Lösung der DGL zu finden.
Ich habe so gerechnet:
charakteristisches Polynom:
[mm] P(\lambda)=\lambda^2+4\lambda+8=0"
[/mm]
[mm] $\rightarrow \lambda_1=-2+2i$
[/mm]
[mm] $\rightarrow \lambda_2=-2-2i$
[/mm]
In meinem Buch steht jetzt:
Wenn
[mm] $\lambda_1=\alpha+\beta [/mm] i$ und [mm] $\lambda_2=\overline{\lambda_1}$
[/mm]
dann bekomme die allg. Lösung nach:
[mm] $y(x)=c_1*e^{\alpha*x}*cos(\beta*x)+c_2*e^{\alpha*x}*sin(\beta*x)
[/mm]
Da meine Lambda der Bedingung entsprechen bekomme ich also:
[mm] $y(x)=(c_1*cos(2x)+c_2*sin(2x))*e^{-2x}$
[/mm]
Dies entspricht auch der Lsg von WolframAlpha:
![[]](/images/popup.gif) http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%2B4y%27%2B8y%3D0
Mein Korrektor hat aber zu meiner Lösung dazu geschrieben:
"entweder $cos(2x)+isin(2x)$ oder [mm] $e^{\pm 2ix}$"
[/mm]
Wobei er mein $cos(2x)$ und $sin(2x)$ in der Lösung unterstrichen hat.
Jetzt Frage ich mich, was er damit gemeint hat?
Wäre die Lsg so auch richtig gewesen:
[mm] $y(x)=(c_1*e^{-2ix}+c_2*e^{2ix})*e^{-2x}$ [/mm] (oder entsprechend mit sin und cos ausgedrückt) ?
Das ist aber doch eine andere Lösung als meine?
Oder könnte er etwas anderes gemeint haben?
vielen Dank für eure Hilfe!
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Fr 06.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Korrektor hat nen Fehler gemacht! und du hattest mit deiner lösung recht.
man kann die lösungen in den komplexen zahlen betrachten, das ist aber für reelle funktionen nicht sehr sinnvoll!
deine antwort an ihn sollte sein : sowohl [mm] e^{-2x}*sin(2x) [/mm] als auch [mm] e^{-2x}*cos(2x) [/mm] sind 2 linear unabhängige richtige Lösung der Dgl. die allgemeine lösung kann man deshalb als linearkombination der beiden schreiben.
Was er übersehen hat (wahrscheinlich ist er nicht so fit auf dem Gebiet- er ist ja nur wenige semester weiter als du)
die auch richtigen (komplexen) Lösungen [mm] f_1= e^{-2x}*e^{2ix} [/mm] und [mm] f_2=e^{-2x}*e^{-2ix} [/mm]
kann man mit den Linearkombinationen f1+f2 und i*f1-if2 zu cos und sin umformen.
Beharre also darauf dass deine Lösung richtig ist (und in Physik etwa auch die einzig vernünftige! (notfalls zum prof oder oberassistenten gehen)
(die komplexe schreibweise erleichter nur das Rechnen, du hättest auch mit dem ansatz [mm] y=e^{rx}*(cos\omega*x)+sin(/omega*x)) [/mm] ein ergebnis gekriegt, nur wird die rechnung viel aufwendiger.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Fr 06.05.2011 | | Autor: | nhard |
vielen Dank für deine Antwort!
Werde mal schauen was er sagt :)
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