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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Di 07.10.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | Das AWP [mm] y'=\bruch{y}{x}-\bruch{x^2}{y^2} [/mm] y(1)=1
wird in ein AWP für u
u' [mm] =-\bruch{1}{xu^2} [/mm] , u(1)=1 mit der Lösung
[mm] \integral_{1}^{u}{ z^2 dz}=- \integral_{1}^{x}{\bruch{dt}{t}}, [/mm] d.h. [mm] \bruch{u^3-1}{3}=-logx
[/mm]
übergeführt. |
Hallo ich habe mal eine Frage zu einer Aufgabe, wo ich die Lösung nicht ganz nachvollziehen kann.
Es geht um homogene DGL
Allgemein stand dort:
[mm] y'=f(\bruch{y}{x})
[/mm]
[mm] u:=\bruch{y}{x}
[/mm]
y'=u+xu'=f(u)
-> [mm] u'=\bruch{f(u)-u}{x}
[/mm]
Das hab ich alles kapiert.
So, nun wurde als Beispiel aufgabe diese Aufgabe da oben genannt.
meine erste Verwirrung:
1)Bei dieser Aufgabe oben, gibt es doch keine Verkettung von Funktionen, ich meine da steht ja kein f(*) mit nem Argument * .
2)Wie kommt man auf u' [mm] =-\bruch{1}{xu^2}
[/mm]
Ich hab schon alles möglich ausprobiert( beiden Brüche auf den gleichen Nenner bringen,...) aber damit komme ich irgendwie nicht weiter
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3)und ich verstehe auch nicht wie man plötzlich auf
[mm] \integral_{1}^{u}{ z^2 dz}=- \integral_{1}^{x}{\bruch{dt}{t}}
[/mm]
kommt
woher kommt das z hinter dem integral, ich denke u' muss integriert werden?!?
Ich hoffe jm kann mir da etwas licht in die Aufgabe bringen!!
Vielen Dank im Vorraus
Kreide
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Hallo,
gehen wir das Verfahren mal an deinem Beispiel durch:
Es ist [mm] $y'=\frac{y}{x}-\frac{x^2}{y^2}=\frac{y}{x}-\left(\frac{y}{x}\right)^{-2}=f(\frac{y}{x})$.
[/mm]
Jetzt führen wir die Substitution [mm] $u:=\frac{y}{x}$ [/mm] durch, also $y=ux$. Ableiten ergibt $y'=u'x+u$, andererseits ist auch [mm] $y'=f(u)=u-\frac{1}{u^2}$, [/mm] also insgesamt:
[mm] $u'x+u=u-\frac{1}{u^2}\quad\Rightarrow\quad u'=\frac{1}{x}\left(-\frac{1}{u^2}\right)=-\frac{1}{xu^2}$.
[/mm]
Schreiben wir u' mal anders und wenden "Trennung der Veränderlichen" an:
[mm] $\frac{du}{dx}=-\frac{1}{xu^2}\quad\Rightarrow\quad u^2\,du=-\frac{dx}{x}$.
[/mm]
Du hast jetzt zwei Möglichkeitten: Entweder du integrierst unbestimmt, also schreibst jetzt links und rechts ein Integral davor, rechnest das durch und setzt später den Anfangswert ein um eine Lösung des AWP zu bekommen, oder du sparst dir den Schritt der unbestimmten Integration und löst die DGL
[mm] $u'=-\frac{1}{xu^2}$ [/mm] mit transformiertem AWP u(1)=1 sofort, indem du die linke Seite von 1 bis u und die rechte von 1 bis x integrierst. Dazu benennt man noch die Integrationsvariablen um, damit man nicht in den Grenzen und im Integranden x bzw. u hat. Das führt dich dann zu dem Integral in 3).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Di 07.10.2008 | | Autor: | Kreide |
Hey!
Super vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort. Auf diese Substitution bin ich irgendwie nicht gekommen. Jetzt hab ich das aber dank dir schon recht gut verstanden!
Ich habe dennoch 1 kurze Frage,
woher weiß ich, dass ich von 1 bis u bzw 1 bis x integrieren muss?
Es liegt doch an der Anfangsbedingung y(1)=1, also deshalb muss man jeweils bei 1 starten..
Lg
kreide
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Zuerst einmal musst du das AWP y(1)=1 noch transformieren, da du ja noch keine Bedingung für u hast:
[mm] $u(x)=\frac{y(x)}{x}\quad\Rightarrow\quad u(1)=\frac{y(1)}{1}=y(1)=1$.
[/mm]
Der Rest ist wie generell im Verfahren "Trennung der Variablen", also für ein AWP [mm] $u(x_0)=u_0$ [/mm] integriert man auf der einen Seite von [mm] $x_0$ [/mm] bis x und auf der anderen von [mm] $u_0$ [/mm] bis u.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Kreide |
Hallo, zu der substitution habe ich noch mal kurz eine Frage.
Es gilt ja für substitution: [mm] \integral_{a}^{b}{f(g(x))g(x)'dx}=\integral_{g(a)}^{g(b)}{f(y)dy}
[/mm]
Die Vorraussetzungen die gelten müssen sind
*f stetig
*g diffbar sowie bijektiv
hier wurde folgende Substitution durchgeführt:
[mm] u:=\bruch{y}{x} [/mm] mit [mm] x\not= [/mm] 0
[mm] f(u(x))=u-\bruch{1}{u^2}
[/mm]
f sollte ja stetig sein. Aber ist f das wirklich?!?
man weiß ja, dass u eigentlich y/x mit x [mm] \not= [/mm] 0 ist. Aber y kann ja gleich null sein, dann wäre u=0 und dann wäre f(u) nicht stetig...?!?!
desweiteren sollte ja gelten:
u(x) ist diffbar und umkehrbar
u(x) ist diffbar: u'(x)= [mm] \bruch{xy'(x)-y(x)}{x^2}
[/mm]
wie man die umkehrbarkeit zeigt weiß ich leider nicht, da u und y von x abhängen... Die Def für bijektivität ist ja : zu jedem y [mm] \in [/mm] Y ex. genau ein x [mm] \in [/mm] X
Für diesen fall müsste man dann sagen zu jedem u [mm] \in [/mm] U ex. genau ein x in X...
Dann dürfte man die Substituion doch gar nicht anwenden, weil f(u) ja nicht stetig ist.
Das Buch macht es hier aber trotzdem. Also muss ich hier irgendwo einen denkfehler haben. Nur wo? 
Lg
kreide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mo 13.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
schon deine urspruengliche Dgl ist doch fuer y=0 nicht definiert.
also gilt [mm] y\ne0
[/mm]
das kann man natuerlich sicherheitshalber auch dazuschreiben!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Kreide |
Hallo leduart,
oh ja! natürlich!!! danke für den hinweis!!!
Aber man muss doch dennoch zeigen, dass u(x)= [mm] \bruch{y(x)}{x}
[/mm]
bijektiv ist oder?
Gruß
kreide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Mo 13.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, aber das ist es doch im def. Bereich
gruss leduart
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