homogene DGL < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | Um eine Aufgabe zu berechen steht zu Erklärung folgendes:
y'= [mm] f(\bruch{ax+bx+c}{\alpha x+\beta x +\gamma})
[/mm]
Der Fall, dass die Determinante [mm] \vmat{ a & b \\ \alpha & \beta }= [/mm] 0 ist (also a= [mm] \lambda \alpha [/mm] b= [mm] \lambda \beta [/mm] ), führt das schon auf behandelte Typen.(-> [mm] y'=f(\bruch{x}{y}), [/mm] y'=(f(ax+ba+c), y'=f(x)g(x), y'=g(y) )
Ist diese Deteminante der DGL [mm] \not= [/mm] 0, so hat das GLS (*)
ax+bx+c=0
[mm] \alpha [/mm] x [mm] +\beta [/mm] x + [mm] \gamma [/mm] =0
genau eine Lösung [mm] x_{0} [/mm] , [mm] y_{0}
[/mm]
So nun kommt die Beispielaufgabe:
[mm] y'=\bruch{y+1}{x+2}-e^{\bruch{y+1}{x+2}}
[/mm]
Aus (*) ergibt sich [mm] x_{0}=-2 [/mm] , [mm] y_{0}=-1
[/mm]
siehe auch
![[]](/images/popup.gif) http://books.google.com/books?id=tyAdMH69NRYC&pg=PA55&lpg=PA55&dq=gewöhnliche+differentialgleichungen,+Walter,+fragen&source=web&ots=C8yzR6lC_c&sig=aPsCLCrCnSXRoUmMVmIA1e79jQ8&hl=de&sa=X&oi=book_result&resnum=1&ct=result#PPA22,M2
S.22 unten und S.23 unten
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Hallo, ich habe noch mal eine Frage zu einem Beispiel was sich mit DGL beschäftigt:
Wie kommt man auf die Idee, hier die Determinante zu berechnen?
Ich meine, der verweis, "führt auf schon behandelte Typen" kann ich auch nicht nachvollziehn, wenn ich für a= [mm] \lambda \alpha [/mm] b= [mm] \lambda \beta [/mm] einsetze komme ich auf [mm] f(\bruch{\lambda(\alpha x+\beta x)+c}{\alpha x+\beta x +\gamma}). [/mm] Ich kann nicht einsehen, dass das eine Form wie (-> [mm] y'=\bruch{x}{y}, [/mm] y'(f(ax+ba+c), y'f(x)g(x), y'=g(y) ) hat... man kann ja nichts kürzen oder so.
Meine andere Frage bezieht sich darauf, wie man [mm] x_{0}=-2 [/mm] und [mm] y_{0}=-1 [/mm] berechnet. Hierfür muss man ja erstmal ein LGS aufstellen. Mein Problem ist es, dass ich nicht weiß, wie man [mm] y'=\bruch{y+1}{x+2}-exp{\bruch{y+1}{x+2}} [/mm] in die Form y'= [mm] f(\bruch{ax+bx+c}{\alpha x+\beta x +\gamma}) [/mm] bringen kann, um es dann in ein LGS schreiben zu können.
Wenn man versuchen würde die beiden Summanden auf einen Nenner zu bringen, dann hätte man im Nenner nur ein x . Mit Substitution u= [mm] \bruch{y+1}{x+2}habe [/mm] ich mich auch schon versucht, aber dann verschwinden meine Brüche ganz...
Wäre für jede Hilfe und Tipp SEHR dankbar!!!
Lg
Kreide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Kreide,
> Um eine Aufgabe zu berechen steht zu Erklärung folgendes:
> y'= [mm]f(\bruch{ax+bx+c}{\alpha x+\beta x +\gamma})[/mm]
>
> Der Fall, dass die Determinante [mm]\vmat{ a & b \\ \alpha & \beta }=[/mm]
> 0 ist (also a= [mm]\lambda \alpha[/mm] b= [mm]\lambda \beta[/mm] ), führt
> das schon auf behandelte Typen.(-> [mm]y'=f(\bruch{x}{y}),[/mm]
> y'=(f(ax+ba+c), y'=f(x)g(x), y'=g(y) )
> Ist diese Deteminante der DGL [mm]\not=[/mm] 0, so hat das GLS
> (*)
> ax+bx+c=0
> [mm]\alpha[/mm] x [mm]+\beta[/mm] x + [mm]\gamma[/mm] =0
> genau eine Lösung [mm]x_{0}[/mm] , [mm]y_{0}[/mm]
>
> So nun kommt die Beispielaufgabe:
>
> [mm]y'=\bruch{y+1}{x+2}-e^{\bruch{y+1}{x+2}}[/mm]
> Aus (*) ergibt sich [mm]x_{0}=-2[/mm] , [mm]y_{0}=-1[/mm]
>
> siehe auch
>
> http://books.google.com/books?id=tyAdMH69NRYC&pg=PA55&lpg=PA55&dq=gewöhnliche+differentialgleichungen,+Walter,+fragen&source=web&ots=C8yzR6lC_c&sig=aPsCLCrCnSXRoUmMVmIA1e79jQ8&hl=de&sa=X&oi=book_result&resnum=1&ct=result#PPA22,M2
>
> S.22 unten und S.23 unten
>
>
>
> Hallo, ich habe noch mal eine Frage zu einem Beispiel was
> sich mit DGL beschäftigt:
>
> Wie kommt man auf die Idee, hier die Determinante zu
> berechnen?
> Ich meine, der verweis, "führt auf schon behandelte Typen"
> kann ich auch nicht nachvollziehn, wenn ich für a= [mm]\lambda \alpha[/mm]
> b= [mm]\lambda \beta[/mm] einsetze komme ich auf
> [mm]f(\bruch{\lambda(\alpha x+\beta x)+c}{\alpha x+\beta x +\gamma}).[/mm]
> Ich kann nicht einsehen, dass das eine Form wie (->
> [mm]y'=\bruch{x}{y},[/mm] y'(f(ax+ba+c), y'f(x)g(x), y'=g(y) )
> hat... man kann ja nichts kürzen oder so.
>
>
> Meine andere Frage bezieht sich darauf, wie man [mm]x_{0}=-2[/mm]
> und [mm]y_{0}=-1[/mm] berechnet. Hierfür muss man ja erstmal ein LGS
> aufstellen.
nein, braucht man nicht. Es war vorgegeben [mm] \bar x=x-x_0 [/mm] und [mm] \bar y=y-y_0
[/mm]
außerdem ist aus der DGL [mm] y'=\bruch{y+1}{x+2}-e^{\bruch{y+1}{x+2}}
[/mm]
[mm] $\bar [/mm] x=x+2$ und [mm] $\bar [/mm] y=y+1$ bekannt. Damit das aber heraus kommt muss z.B. [mm] x_0=-2 [/mm] sein
[mm] \bar x=x-x_0=x-(-2)=x+2
[/mm]
ok?
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Kreide |
hey herby, danke für deine antwort. okay, ich verstehe deine Erklärung. Mich hatte nur der Verweis im Buch verwirrt "Aus dem LGS ergibt sich [mm] x_{0}=...."
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Mi 08.10.2008 | | Autor: | Kreide |
Hier steht auch
[mm] \bruch{d \overline{y}(\overline{x})}{d \overline{x}}=y'(\overline{x}+x_{0})
[/mm]
[mm] =f(\bruch{a (\overline{x}+x_0)+b(\overline{y}(\overline{x})+y_0)+c }{\alpha (\overline{x}+x_0)+\beta(\overline{y}(\overline{x})+y_0)+\gamma})
[/mm]
[mm] =f(\bruch{a \overline{x}+b\overline{y}(\overline{x})}{\alpha \overline{x}+\beta \overline{y}(\overline{x})}
[/mm]
Alle Schritte, bis auf den letzten, kann ich nachvollziehen.
ich habe aber eine Vermutung :
man kann das [mm] x_{0}, y_{0} [/mm] und c im Zähler und Nenner weglassen, weil sie jeweils die Verschiebung des Koordinatensystem bedeuten, oder? kann das sein?
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Hallo Kreide,
> Hier steht auch
> [mm]\bruch{d \overline{y}(\overline{x})}{d \overline{x}}=y'(\overline{x}+x_{0})[/mm]
>
> [mm]=f(\bruch{a (\overline{x}+x_0)+b(\overline{y}(\overline{x})+y_0)+c }{\alpha (\overline{x}+x_0)+\beta(\overline{y}(\overline{x})+y_0)+\gamma})[/mm]
>
> [mm]=f(\bruch{a \overline{x}+b\overline{y}(\overline{x})}{\alpha \overline{x}+\beta \overline{y}(\overline{x})}[/mm]
>
> Alle Schritte, bis auf den letzten, kann ich
> nachvollziehen.
>
> ich habe aber eine Vermutung :
> man kann das [mm]x_{0}, y_{0}[/mm] und c im Zähler und Nenner
> weglassen, weil sie jeweils die Verschiebung des
> Koordinatensystem bedeuten, oder? kann das sein?
Wenn Du obiges ausmultiplizierst, dann steht da:
[mm]=f(\bruch{a (\overline{x}+x_0)+b(\overline{y}(\overline{x})+y_0)+c }{\alpha (\overline{x}+x_0)+\beta(\overline{y}(\overline{x})+y_0)+\gamma})[/mm]
[mm]=f(\bruch{a \overline{x}+ax_{0}+b\overline{y}\left(\overline{x}\right)+by_0+c }{\alpha \overline{x}+\alpha x_0)+\beta \overline{y}\left(\overline{x}\right)+\beta y_0)+\gamma})[/mm]
[mm]=f(\bruch{a \overline{x}+b\overline{y}\left(\overline{x}\right)+ax_{0}+by_{0}+c }{\alpha \overline{x}+\beta \overline{y}\left(\overline{x}\right)+\alpha x_0+\beta y_{0}+\gamma})[/mm]
[mm]x_{0}, \ y_{0}[/mm] sind ja gerade Lösungen des Gleichungssystems
[mm]a x_{0} + b y_{0} +c = 0[/mm]
[mm]\alpha x_{0}+\beta y_{0} +\gamma = 0[/mm]
Demnach gilt:
[mm]=f(\bruch{a \overline{x}+b\overline{y}\left(\overline{x}\right)+\blue{0}}{\alpha \overline{x}+\beta \overline{y}\left(\overline{x}\right)+\blue{0}})[/mm]
[mm]=f(\bruch{a \overline{x}+b\overline{y}\left(\overline{x}\right)}{\alpha \overline{x}+\beta \overline{y}\left(\overline{x}\right)})[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo Kreide,
> Um eine Aufgabe zu berechen steht zu Erklärung folgendes:
> y'= [mm]f(\bruch{ax+bx+c}{\alpha x+\beta x +\gamma})[/mm]
>
> Der Fall, dass die Determinante [mm]\vmat{ a & b \\ \alpha & \beta }=[/mm]
> 0 ist (also a= [mm]\lambda \alpha[/mm] b= [mm]\lambda \beta[/mm] ), führt
> das schon auf behandelte Typen.(-> [mm]y'=f(\bruch{x}{y}),[/mm]
> y'=(f(ax+ba+c), y'=f(x)g(x), y'=g(y) )
> Ist diese Deteminante der DGL [mm]\not=[/mm] 0, so hat das GLS
> (*)
> ax+bx+c=0
> [mm]\alpha[/mm] x [mm]+\beta[/mm] x + [mm]\gamma[/mm] =0
> genau eine Lösung [mm]x_{0}[/mm] , [mm]y_{0}[/mm]
>
> So nun kommt die Beispielaufgabe:
>
> [mm]y'=\bruch{y+1}{x+2}-e^{\bruch{y+1}{x+2}}[/mm]
> Aus (*) ergibt sich [mm]x_{0}=-2[/mm] , [mm]y_{0}=-1[/mm]
>
> siehe auch
>
> http://books.google.com/books?id=tyAdMH69NRYC&pg=PA55&lpg=PA55&dq=gewöhnliche+differentialgleichungen,+Walter,+fragen&source=web&ots=C8yzR6lC_c&sig=aPsCLCrCnSXRoUmMVmIA1e79jQ8&hl=de&sa=X&oi=book_result&resnum=1&ct=result#PPA22,M2
>
> S.22 unten und S.23 unten
>
>
>
> Hallo, ich habe noch mal eine Frage zu einem Beispiel was
> sich mit DGL beschäftigt:
>
> Wie kommt man auf die Idee, hier die Determinante zu
> berechnen?
Das Ziel ist hier die DGL auf eine möglichst einfache Form zu bringen.
Deshalb wird hier die Determinante [mm]\vmat{ a & b \\ \alpha & \beta }[/mm] berechnet.
Ist diese [mm]\not= 0[/mm], dann hat das zugehörige Gleichungssystem
[mm]a x + by +c = 0[/mm]
[mm]\alpha x+ \beta y + \gamma=0[/mm]
genau eine Lösung.
> Ich meine, der verweis, "führt auf schon behandelte Typen"
> kann ich auch nicht nachvollziehn, wenn ich für a= [mm]\lambda \alpha[/mm]
> b= [mm]\lambda \beta[/mm] einsetze komme ich auf
> [mm]f(\bruch{\lambda(\alpha x+\beta x)+c}{\alpha x+\beta x +\gamma}).[/mm]
> Ich kann nicht einsehen, dass das eine Form wie (->
> [mm]y'=\bruch{x}{y},[/mm] y'(f(ax+ba+c), y'f(x)g(x), y'=g(y) )
> hat... man kann ja nichts kürzen oder so.
Der Fall [mm]a=c=0, \ b =1, \alpha=1, \beta=\gamma=0[/mm] führt auf den Typ
[mm]y'=f\left(\bruch{y}{x}\right)[/mm]
Der Fall [mm]\alpha=\beta=0, \ \gamma=1[/mm] führt auf den Typ
[mm]y'=f\left(ax+by+c\right)[/mm]
>
> Wäre für jede Hilfe und Tipp SEHR dankbar!!!
> Lg
> Kreide
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Kreide |
hey mathepower!
vielen lieben dank für die Erklärungen, ich habe sie erst gerade gelesen und alles verstanden! Dankeschöööön!!!! 
Gruß Kreide
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Kreide |
> Der Fall [mm]a=c=0, \ b =1, \alpha=1, \beta=\gamma=0[/mm] führt auf
> den Typ
>
hallo mathepower, mir ist gerade noch was aufgefallen:
diesen fall kann es doch gar nicht geben, denn dann wäre die determinante [mm] (\alpha \beta [/mm] -ab=0 ) nicht gleich null....
1 ist ja ungleich null... 
> [mm]y'=f\left(\bruch{y}{x}\right)[/mm]
>
>
> Der Fall [mm]\alpha=\beta=0, \ \gamma=1[/mm] führt auf den Typ
>
> [mm]y'=f\left(ax+by+c\right)[/mm]
>
>
> >
> > Wäre für jede Hilfe und Tipp SEHR dankbar!!!
> > Lg
> > Kreide
>
>
> Gruß
> MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 15.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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