homogene DGL und allg. Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Sa 24.10.2009 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | 2. Wir betrachten die DGL y`+y sin x= sin^3x
a) Lösen Sie die zugehörige homogene DGL
b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung obiger DGL (mit Variation der Konstanten)
Hinweis: [mm] \integral sin^3 [/mm] te^-cost dt = [mm] (sin^2 [/mm] t-2cos t-2)e^-cost +c ,c [mm] \in [/mm] R |
Mein Vorgehensweise bis jetzt:
y'+y sin x= sin^3x
a) homogene DGL:
y'= [mm] sin^3 [/mm] x -y sinx
homogene Teil:
y'= -y sin x
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = -y sin x / [mm] \* [/mm] dx
dy = - ysin x dx
/:y
[mm] \bruch{dy}{y}= [/mm] -sin x dx
[mm] \integral \bruch{1}{y} [/mm] = [mm] \integral [/mm] - sinx dx
ln y = cos x +c / [mm] \*e
[/mm]
y = e^cosx + [mm] e^c
[/mm]
|y| = [mm] \bruch{k}{x} y_{s} [/mm] = K (x)...
Jetzt weiss ich nicht wie ich weiter vorgehen soll? Ist das überhaupt korrekt bis jetzt?
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Sa 24.10.2009 | | Autor: | StevieG |
Erstmal vielen Dank für die Antworten!
ich habe soweiter gerechnet:
yh (x) = K [mm] \* [/mm] e^cosx
yp (x) = K(x) [mm] \* [/mm] e^cosx
Zusammen müsste jetzt der homogene Teil und yp (x) [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] K(x)\* [/mm] e^cosx + K(x) [mm] \* [/mm] e^cosx ergeben.
Und das setze ich nun gleich mit [mm] K(x)\* [/mm] e^cosx + [mm] sin^3 [/mm] x
K(x) e^cosx + K(x) [mm] \* [/mm] e^cosx = [mm] K(x)\* [/mm] e^cosx + [mm] sin^3 [/mm] x
K(x) e^cosx = [mm] sin^3 [/mm] x
K(x) = [mm] \bruch{sin^3 x}{e ^cosx}
[/mm]
??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Nimm doch bitte den Formeleditor, so kann das ja keiner vernünftig lesen.
> Erstmal vielen Dank für die Antworten!
>
> ich habe soweiter gerechnet:
>
> yh (x) = K [mm]\*[/mm] e^cosx
>
> yp (x) = K(x) [mm]\*[/mm] e^cosx
>
>
> Zusammen müsste jetzt der homogene Teil und yp (x)
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]K(x)\*[/mm] e^cosx + K(x) [mm]\*[/mm] e^cosx ergeben.
>
>
> Und das setze ich nun gleich mit [mm]K(x)\*[/mm] e^cosx + [mm]sin^3[/mm] x
>
> K(x) e^cosx + K(x) [mm]\*[/mm] e^cosx = [mm]K(x)\*[/mm] e^cosx + [mm]sin^3[/mm] x
>
> K(x) e^cosx = [mm]sin^3[/mm] x
>
> K(x) = [mm]\bruch{sin^3 x}{e ^cosx}[/mm]
>
> ??
Ich verstehe überhaupt nicht, was du da gerechnet hast. Wo hast du denn [mm] $y_p$ [/mm] abgeleitet? Setze $K(x) [mm] e^{\cos x}$ [/mm] für $y$ in die DGL [mm] $y'+y\sin [/mm] x [mm] =\sin^3 [/mm] x$ ein!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Sa 24.10.2009 | | Autor: | StevieG |
Tut mir leid ich krieg das irgend wie nicht hin ich werde mich bessern.
dh ich muss in die Ausgangsgleichung in y : [mm] k(x)\*e^{cosx} [/mm] einsetzen.
Die Ableitung von [mm] k(x)\*e^{cosx} [/mm] wäre doch dann [mm] k'(x)\*e^{cosx}.
[/mm]
dann :
[mm] k'(x)\*e^{cosx} [/mm] + [mm] k(x)\*e^{cosx} [/mm] = [mm] sin^3 [/mm] x
Dann kann ich aber nicht auflösen, irgend was is da falsch wahrsheinlich die Ableitung?
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Hallo StevieG,
> Tut mir leid ich krieg das irgend wie nicht hin ich werde
> mich bessern.
>
> dh ich muss in die Ausgangsgleichung in y :
> [mm]k(x)\*e^{cosx}[/mm] einsetzen.
>
> Die Ableitung von [mm]k(x)\*e^{cosx}[/mm] wäre doch dann
> [mm]k'(x)\*e^{cosx}.[/mm]
Die Ableitung mußt Du nochmal nachrechnen.
>
> dann :
>
> [mm]k'(x)\*e^{cosx}[/mm] + [mm]k(x)\*e^{cosx}[/mm] = [mm]sin^3[/mm] x
>
>
> Dann kann ich aber nicht auflösen, irgend was is da falsch
> wahrsheinlich die Ableitung?
>
>
Hier muß doch stehen:
[mm]\left( \ k\left(x\right)*e^{cos\left(x\right)}\ \right)'+\blue{\sin\left(x\right)}*k\left(x\right)*e^{\cos\left(x\right)}=\sin^{3}\left(x\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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