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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:02 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo,
Ich soll zeigen, dass jedes homogene Element in [mm] \Lambda [/mm] (V) zerlegbar ist, falls dimV [mm] \le [/mm] 3.
Nur weis ich gar nicht was ein homogenes Elm. in [mm] \Lambda(V) [/mm] ist und auch nicht wann solch ein elm. zerlegbar heißt.
Leider konnte ich nichts im Internet finden. Könnt ihr mir da weiterhelfen?
Gruß
Braten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Mo 24.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Braten!
> Ich soll zeigen, dass jedes homogene Element in [mm]\Lambda[/mm] (V)
> zerlegbar ist, falls dimV [mm]\le[/mm] 3.
>
> Nur weis ich gar nicht was ein homogenes Elm. in [mm]\Lambda(V)[/mm]
> ist und auch nicht wann solch ein elm. zerlegbar heißt.
> Leider konnte ich nichts im Internet finden. Könnt ihr
> mir da weiterhelfen?
Es ist doch [mm] $\Lambda(V) [/mm] = [mm] \bigoplus_{n=0}^\infty \Lambda^n(V)$. [/mm] Ein Element $v [mm] \in \Lambda(V)$ [/mm] heisst homogen, falls es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt mit $v [mm] \in \Lambda^n(V)$. [/mm] Der Tensor [mm] $e_1 \wedge e_2 [/mm] + [mm] e_2 \wedge e_3$ [/mm] ist etwa homogen (mit $n = 2$), der Tensor [mm] $e_1 \wedge e_2 [/mm] + [mm] e_3$ [/mm] nicht (da Teile in [mm] $\Lambda^1(V)$, [/mm] andere Teile in [mm] $\Lambda^2(V)$ [/mm] enthalten sind).
Ein allgemeines Element in [mm] $\Lambda^n(V)$ [/mm] kannst du ja als [mm] $\sum_{i=1}^k v_{i1} \wedge \dots \wedge v_{in}$ [/mm] schreiben. Falls dies auch mit $k = 1$ geht, also das Element von der Form [mm] $v_1 \wedge \dots \wedge v_n$ [/mm] ist, dann heisst der Tensor zerlegbar.
Das sollte aber eigentlich auch in eurem Skript stehen bzw. in eurer Vorlesung vorgekommen sein...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Braten |
Vielen Dank für deine ausführliche und hilfreiche Antwort!
Also ich schreibe hier mal meine Lösung, vielleicht könntet ihr kurz drübersehen:
-Also wir haben [mm] v\in \Lambda^0(V):=\IK. [/mm] für alle VR V.
[mm] \IK [/mm] ist abgeschlossen bzgl. addition, somit ist v zerlegbar.
-Auch haben wir [mm] v\in \Lambda^1(V)=V. [/mm] Daher können wir jeden Vektor als ein vielfaches von unserem Basisvektor schreiben und sind wieder fertig.
Falls dimV=2, dann gilt:
Dann müssen wir den Fall betrachten, dass [mm] v\in \Lambda^2(V) [/mm] ist.
Also dann gilt doch
[mm] v=\sum_{i=1}^n v_{1i} \wedge v_{2i}=
[/mm]
[mm] \sum_{i=1}^n (v_{1i} \otimes v_{2i} [/mm] - [mm] v_{2i} \otimes v_{1i})
[/mm]
aber jetzt bin ich etwas verwirrt! Bin ich überhaupt auf dem richtigen weg?
Muss man jetzt noch die Elemente [mm] v_{1i}, v_{2i} [/mm] als Linearkombination der Basis ausdrücken, dann die Bilinearität vom Tensorprodukt ausnutzen usw..?
Also wenn ich das so mache dann komme ich in der Tat auf die gewünschte Form. Wenn ich keinen Rechenfehler gemacht habe natürlich. Daher meine Frage: Ist die vorgehensweise (die oben grob skizziert ist) korrekt?
Gruß
Braten
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:58 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Braten |
Also um genauer zu sein erhalte ich eine Gleichung folgender Art:
[mm] v=...=\sum_{i=1}^n (c_i*(v_1\otimes v_2 [/mm] - [mm] v_2 \otimes v_1)), [/mm] wobei [mm] c_i \in \IK [/mm] und [mm] v_1,v_2 [/mm] sind meine beiden Basisvektoren.
warum ist das zerlegbar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 27.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Di 25.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Vielen Dank für deine ausführliche und hilfreiche
> Antwort!
> Also ich schreibe hier mal meine Lösung, vielleicht
> könntet ihr kurz drübersehen:
>
> -Also wir haben [mm]v\in \Lambda^0(V):=\IK.[/mm] für alle VR V.
> [mm]\IK[/mm] ist abgeschlossen bzgl. addition, somit ist v
> zerlegbar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> -Auch haben wir [mm]v\in \Lambda^1(V)=V.[/mm] Daher können wir
> jeden Vektor als ein vielfaches von unserem Basisvektor
> schreiben und sind wieder fertig.
Was fuer ein Basisvektor?! Oder gehst du von [mm] $\dim [/mm] V = 1$ aus?
Allgemein fuer jeden Vektorraum $V$ ist jeder Tensor in [mm] $\Lambda^1 [/mm] V$ zerlegbar.
> Falls dimV=2, dann gilt:
>
> Dann müssen wir den Fall betrachten, dass [mm]v\in \Lambda^2(V)[/mm]
> ist.
> Also dann gilt doch
>
> [mm]v=\sum_{i=1}^n v_{1i} \wedge v_{2i}=[/mm]
> [mm]\sum_{i=1}^n (v_{1i} \otimes v_{2i}[/mm]
> - [mm]v_{2i} \otimes v_{1i})[/mm]
Wie kommst du dadrauf? Elemente in [mm] $\Lambda^2 [/mm] V$ sind doch Restklassen von $V [mm] \otimes [/mm] V$ modulo einem gewissen Unterraum.
Oder wie habt ihr [mm] $\Lambda^n(V)$ [/mm] ueberhaupt definiert?
Und wieso beschraenkst du dich hier auf [mm] $\dim [/mm] V = 2$? Den Fall [mm] $\dim [/mm] V = 3$ musst du ebenfalls beachten!
(Kennst du eine Formel fuer [mm] $\dim \Lambda^n [/mm] V$, falls [mm] $\dim [/mm] V = m$ ist? Damit laesst sich $m = 2 = n$ und $m = 3 = n$ sehr schnell abhandeln, und es bleibt der Fall $m = 3$, $n = 2$. Den Fall kann man allerdings auch recht einfach abhandeln, indem man eine Basis von [mm] $\Lambda^2 [/mm] V$ hinschreibt, und explizit nachrechnet wie man jede Linearkombination davon als zerlegbaren Vektor schreiben kann. Mit drei Faellen in einer Fallunterscheidung bekommt man es mit etwas probieren hin.)
> aber jetzt bin ich etwas verwirrt! Bin ich überhaupt auf
> dem richtigen weg?
> Muss man jetzt noch die Elemente [mm]v_{1i}, v_{2i}[/mm] als
> Linearkombination der Basis ausdrücken, dann die
> Bilinearität vom Tensorprodukt ausnutzen usw..?
>
> Also wenn ich das so mache dann komme ich in der Tat auf
> die gewünschte Form. Wenn ich keinen Rechenfehler gemacht
> habe natürlich. Daher meine Frage: Ist die vorgehensweise
> (die oben grob skizziert ist) korrekt?
Da nicht klar ist, was ihr unter [mm] $\Lambda^n [/mm] V$ versteht, ist nicht wirklich klar was du da machst.
LG Felix
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