homogeneeinfache Dgl. 2.O. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen sie die homogene Lösung der Dif.-GL.:
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[mm] y^{...}+6y^{..}+10y^{.}=0
[/mm]
Lösungsweg:
[mm] e^{\lambda*t}*(\lambda^3+6\lambda^2+10\lambda) [/mm] = 0
[mm] e^{\lambda*t} [/mm] kann nicht gleich Null werden, daher [mm] (\lambda^3+6\lambda^2+10\lambda) [/mm] = 0
[mm] \lambda*((\lambda^2+6\lambda+10)=0
[/mm]
1.Lösung: [mm] \lambda=0
[/mm]
2.Lösung: -3+i
3.Lösung: -3-i
Mit: [mm] \lambda [/mm] = [mm] \alpha+\beta*i
[/mm]
[mm] y_{p}= e^{\alpha*t}*cos(\beta*t)
[/mm]
[mm] y_{q}= e^{\alpha*t}*sin(\beta*t)
[/mm]
HIER MEINE FRAGE an dieser Stelle: [mm] \alpha [/mm] ist bei mir immer -3, [mm] \beta [/mm] aber einmal +i und einmal -i, gibt es dann für +i ein [mm] y_{1} [/mm] unnd ein [mm] y_{2} [/mm] und für -i auch zein [mm] y_{1} [/mm] unnd ein [mm] y_{2}?
[/mm]
Dann hätte ich ja folgnede Gleichungen:
[mm] y_{1_{1}}= e^{-3*t}*cos(i*t)
[/mm]
[mm] y_{2_{1}}= e^{-3*t}*sin(i*t)
[/mm]
[mm] y_{1_{2}}= e^{-3*t}*cos(-i*t)
[/mm]
[mm] y_{2_{2}}= e^{-3*t}*sin(-i*t)
[/mm]
Und als Endergebnis:
1. [mm] y_{1}(t) [/mm] = [mm] c_{1}*y_{1_{1}} [/mm] + [mm] c_{2}*y_{2_{1}}
[/mm]
2. [mm] y_{2}(t) [/mm] = [mm] c_{1}*y_{1_{2}} [/mm] + [mm] c_{2}*y_{2_{2}}
[/mm]
Wo liegt mein Fehler? =/
Danke für eure schnelle Antwort, bräcuhte dringend eine Antwort...
Danke!!!
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Hallo DER-Helmut,
> Berechnen sie die homogene Lösung der Dif.-GL.:
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> [mm]y^{...}+6y^{..}+10y^{.}=0[/mm]
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> Lösungsweg:
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> [mm]e^{\lambda*t}*(\lambda^3+6\lambda^2+10\lambda)[/mm] = 0
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> [mm]e^{\lambda*t}[/mm] kann nicht gleich Null werden, daher
> [mm](\lambda^3+6\lambda^2+10\lambda)[/mm] = 0
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> [mm]\lambda*((\lambda^2+6\lambda+10)=0[/mm]
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> 1.Lösung: [mm]\lambda=0[/mm]
> 2.Lösung: -3+i
> 3.Lösung: -3-i
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> Mit: [mm]\lambda[/mm] = [mm]\alpha+\beta*i[/mm]
> [mm]y_{p}= e^{\alpha*t}*cos(\beta*t)[/mm]
> [mm]y_{q}= e^{\alpha*t}*sin(\beta*t)[/mm]
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> HIER MEINE FRAGE an dieser Stelle: [mm]\alpha[/mm] ist bei mir immer
> -3, [mm]\beta[/mm] aber einmal +i und einmal -i, gibt es dann für +i
> ein [mm]y_{1}[/mm] unnd ein [mm]y_{2}[/mm] und für -i auch zein [mm]y_{1}[/mm] unnd
> ein [mm]y_{2}?[/mm]
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> Dann hätte ich ja folgnede Gleichungen:
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> [mm]y_{1_{1}}= e^{-3*t}*cos(i*t)[/mm]
> [mm]y_{2_{1}}= e^{-3*t}*sin(i*t)[/mm]
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> [mm]y_{1_{2}}= e^{-3*t}*cos(-i*t)[/mm]
> [mm]y_{2_{2}}= e^{-3*t}*sin(-i*t)[/mm]
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> Und als Endergebnis:
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> 1. [mm]y_{1}(t)[/mm] = [mm]c_{1}*y_{1_{1}}[/mm] + [mm]c_{2}*y_{2_{1}}[/mm]
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> 2. [mm]y_{2}(t)[/mm] = [mm]c_{1}*y_{1_{2}}[/mm] + [mm]c_{2}*y_{2_{2}}[/mm]
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> Wo liegt mein Fehler? =/
Wenn Du aus dem charakteristischen Polynom komplexe Lösungen [mm]\alpha\pm \beta i [/mm] erhältst,
dann sind
[mm]e^{\alpha t}\sin\left(\beta t\right)[/mm]
[mm]e^{\alpha t}\cos\left(\beta t\right)[/mm]
Lösungen der zugehörigen DGL.
Hier also:
[mm]y\left(t\right)=C_{1}+C_{2}*e^{-3 t}\sin\left(t\right)+C_{3}*e^{-3 t}\cos\left(t\right)[/mm]
Du kannst Dir aus der komplexen Lösung der DGL eine reelle Lösung basteln.
Das machst Du dann in dem Du die Konstanten entsprechend wählst.
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> Danke für eure schnelle Antwort, bräcuhte dringend eine
> Antwort...
> Danke!!!
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Gruß
MathePower
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