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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Di 04.08.2009 | | Autor: | matze3 |
| Aufgabe | | Lösen Sie allgemein: [mm] y''+8y'+16y=2x-5x*ex^{-4x} [/mm] |
Hallo zusammen. Ich hoffe es kann mir jemand einen Tip geben.
Lösung:
[mm] \lambda^{2}+8\lambda+16=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1,2}=-4
[/mm]
[mm] y_{h}=(C_{1}+C_{2}x)*e^{-4x} [/mm] ...bis hierhin kann ich alles nachvollziehen.
Ansatz für [mm] y_{p}: y_{p}=ax+b+(cx+d)*e^{-4x}*x^{2} [/mm]
...wie komme ich darauf? Ist das eine bestimmte Formel?
Gruß Matze
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Hallo matze3,
> Lösen Sie allgemein: [mm]y''+8y'+16y=2x-5x*ex^{-4x}[/mm]
Das soll wohl eher
[mm]y''+8y'+16y=2x-5x*e^{-4x}[/mm]
lauten.
> Hallo zusammen. Ich hoffe es kann mir jemand einen Tip
> geben.
>
> Lösung:
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> [mm]\lambda^{2}+8\lambda+16=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1,2}=-4[/mm]
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> [mm]y_{h}=(C_{1}+C_{2}x)*e^{-4x}[/mm] ...bis hierhin kann ich
> alles nachvollziehen.
>
> Ansatz für [mm]y_{p}: y_{p}=ax+b+(cx+d)*e^{-4x}*x^{2}[/mm]
>
> ...wie komme ich darauf? Ist das eine bestimmte Formel?
>
Nun, da x keine Lösung der homogenen DGL ist,
ist der hier der Ansatz ax+b zu wählen.
Zunächst lautet Ansatz für die Störfunktion [mm]x*e^{-4x}[/mm],
wenn diese keine Lösung der homogenen DGL ist: [mm]\left(c*x+d\right)*e^{-4x}[/mm]
Nun ist aber die Störfunktion Lösung der homogenen DGL.
Da hier [mm]e^{-4x}[/mm] aber doppelte Lösung der homogenen DGL ist,
ist der vorige Ansatz mit [mm]x^{2}[/mm] zu multiplizieren.
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> Gruß Matze
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Gruß
MathePower
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