homogenes LGS ist Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Die Lösungsmenge Lös (A, 0) eines homogenen LGS (Lineares Gleichungssystem) in n Variablen ist ein Untervektorraum von [mm] K^n. [/mm] |
Ich habe immer Probleme mit Beweisen, aber ich weiß, dass ich hier auf jeden Fall kein Gegenbeispiel finden werde. Ich verwende im folgenden U für einen Untervektorraum.
Axiom 1 U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
stimmt in dem Fall, da ja jedes homogene LGS mindestens die triviale Lösung hat
Aber wie kann ich die letzten beiden Axiome beweisen? Ich wäre schon für einen Ansatz froh.
Axiom 2 u,v [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] u+v [mm] \in [/mm] U
Axiom 3 u [mm] \in [/mm] U, [mm] \lambda \in [/mm] K(Körper) [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] * u [mm] \in [/mm] U
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> Zeigen Sie: Die Lösungsmenge Lös (A, 0) eines homogenen LGS
> (Lineares Gleichungssystem) in n Variablen ist ein
> Untervektorraum von [mm]K^n.[/mm]
> Ich habe immer Probleme mit Beweisen, aber ich weiß, dass
> ich hier auf jeden Fall kein Gegenbeispiel finden werde.
> Ich verwende im folgenden U für einen Untervektorraum.
>
> Axiom 1 U [mm]\not= \emptyset[/mm]
> stimmt in dem Fall, da ja jedes
> homogene LGS mindestens die triviale Lösung hat
> Aber wie kann ich die letzten beiden Axiome beweisen? Ich
> wäre schon für einen Ansatz froh.
> Axiom 2 u,v [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] u+v [mm]\in[/mm] U
> Axiom 3 u [mm]\in[/mm] U, [mm]\lambda \in[/mm] K(Körper) [mm]\Rightarrow \lambda[/mm]
> * u [mm]\in[/mm] U
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast richtig erkannt, daß Du kein Gegenbeispiel finden wirst, die Lösungsmenge eines linearen homogenen GS bildet immer einen Unterraum des [mm] K^n.
[/mm]
Die Begründung dafür, daß 0 enthalten ist, ist richtig. Es ist A*0=0 für jede Matrix A.
Nun willst Du zeigen, daß mit u,v auch u+v im Lösungsraum enthalten ist.
Berechne hierfür A(u+v)=Au+...=..., und falls Du 0 herausbekommst, ist u+v eine Lösung von Ax=0.
Für [mm] \lambda*u [/mm] geht das ganz ähnlich.
Gruß v. Angela
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So wie du das beschrieben hast, wirkt das, als könnte man es unter ein Summenzechen zusammenfassen:
das heißt also für das zweite Axiome:
[mm] \summe_{j=1}^{n} A_{ij}(u_j+v_j) [/mm] = [mm] \underbrace{\summe_{j=1}^{n}A_{ij}*u_j }_{= 0}+\underbrace{\summe_{j=1}^{n}A_{ij}*v_j}_{= 0} [/mm] = 0 + 0 = 0
und für das dritte analog:
[mm] \summe_{j=1}^{n}A_{ij}(\lambda*u_j)=\lambda*\underbrace{\summe_{j=1}^{n}A_{ij}*u_j=}_{=0 wie im vorigen}\lambda*0=0
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo,
was Du da machst mit den Indizes ist viel zu umständlich, wenn auch nicht unbedingt verkehrt.
Guck mal:
u und v seien aus dem Lösungsraum des LGS Ax=0.
Dann gilt Au=0 und Av=0 (das bedeutet ja gerade, daß sie im Lösungsraum sind.)
Es ist
A(u+v)=Au+Av=0+0=0. , also ist u+v im Lösungsraum des GS.
Die andere ebenso.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Syladriel |
Danke für deine Hilfe!
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