homomorphe Bilder < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Do 03.11.2005 | | Autor: | Nike001 |
Hallo ihr
Ich bräuchte eure Hilfe für eine Übungsaufgabe.
Den Homomorphiesatz kenne ich.
Existiert ein Homomorphismus von G->H, dann existiert ein weiterer Homomorphismus von G/kerf,*->H.
G/kerf,* ist dabei die Faktorgruppe von G nach ker,f.
Meine Frage betrifft die symmetrische Gruppe S3.
Ich habe den Normalteiler N: { [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 } [/mm] } ermittelt.
Daraus habe ich die Faktorgruppe { [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 }, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 } [/mm] } ermittelt.
Der Kern des Homomorphismus ist also, weil jeder Kern Normalteiler ist, N.
Alle Elemente von N werden auf das Neutralelement [mm] e_{H} [/mm] abgebildet, also f(n) = [mm] e_{H} [/mm] .
Alle Elemente aus der Faktorgruppe werden auf das selbe Element h [mm] \in [/mm] H abgebildet, denn seien [mm] n_{1}, n_{1'} [/mm] zwei verschiedene Elemente und [mm] n_{1'} [/mm] = [mm] n_{1} [/mm] o n , n [mm] \in [/mm] N, dann gilt: [mm] f(n_{1'}) [/mm] = [mm] f(n_{1} o_{G} [/mm] n) = [mm] f(n_{1}) o_{H} [/mm] f(n) = [mm] f(n_{1}) o_{H} e_{H} [/mm] = [mm] f(n_{1}).
[/mm]
Nun zu meiner Frage: warum gibt es ausgehend von diesem Vorwissen genau drei verschiedenartige Homomorphismen/homomorphe Bilder der S3 in andere Gruppen H??? Woran erkennt man das und wie bestimmt man diese?
Vielen Dank schonmal für eure Geduld beim Lesen ;) und für nette Antworten
Liebe Grüße,
Nike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Du machst es dir viel zu schwer. 
Nach dem Homomorphiesatz ist jedes homomorphe Bild von [mm] $S_3$ [/mm] isomorph zu [mm] $S_3/N$, [/mm] wobei $N$ ein Normalteiler von [mm] $S_3$ [/mm] ist.
Nun gibt es aber nur drei Normalteiler von [mm] $S_3$, [/mm] nämlich [mm] $\{id\}$, $S_3$ [/mm] und [mm] $A_3$. [/mm] Daher kann es auch (bis auf Isomorphie) nur drei homomorphe Bilder der [mm] $S_3$ [/mm] geben...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Nike001 |
Hi Stefan,
jetzt kapier ich endlich was das überhaupt soll mit dem Homomorphiesatz!
Hätte mir das mal einer so einfach, kurz und bündig in der Vorlesung erklärt!
Vielen Dank für die schnelle und vor allem hilfreiche Antwort!
Nike
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