horizontale und vertikale tang < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \bruch{4}{3-cos(\varphi)} B:(0<=\varphi <2\pi) [/mm] |
hi
ich soll folgende aufgabe lösen:
"Wo haben die folgenden Abbildungen im zu untersuchenden Bereich B horizontale und vertikale Tangenten? Geben Sie die Berührpunkte mit der Kurve in kartesischen Korrdinaten an."
ich weiß nicht wie ich diesen punkt über den variablen schreiben soll ich mach dafür einfach nen ' ..
also im prinzip muss ich erst [mm] r(\varphi) [/mm] ableiten was folgendes ergibt: [mm] r'(\varphi)= \bruch{-8}{3-2cos(\varphi)}
[/mm]
dann in folgende formel einsetzen..
[mm] y'(\varphi)=\bruch{r'*sin(\varphi)+r*cos(\varphi)}{r'*cos(\varphi)-r*sin(\varphi)}
[/mm]
was bei mir folgendes ergibt:
[mm] \bruch{-(8sin(\varphi)-16cos^2(x))}{-(8cos(\varphi)+16sin^2(x))}
[/mm]
so wenn ich mich bis dahin nicht verrechnet oder verschrieben habe :) ist mein problem das ich jetzt ja [mm] 8sin(\varphi)-16cos^2(x))=0 [/mm] setzen muss und die nullstellen suchen und der andere ausdruck [mm] 8cos(\varphi)+16sin^2(x) [/mm] muss ich ja auch =0 setzen und die nullstellen suchen und da häng ich im moment, wie komm ich da an das x ??
mfg stargate
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Dinker |
Kennst du den trigonometrischen Pythagoras? Mit dem könntest du [mm] sin^{2} [/mm] durch cos ausdrücken
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Hallo stargate2k,
> [mm]\bruch{4}{3-cos(\varphi)} B:(0<=\varphi <2\pi)[/mm]
> hi
>
> ich soll folgende aufgabe lösen:
>
> "Wo haben die folgenden Abbildungen im zu untersuchenden
> Bereich B horizontale und vertikale Tangenten? Geben Sie
> die Berührpunkte mit der Kurve in kartesischen Korrdinaten
> an."
>
> ich weiß nicht wie ich diesen punkt über den variablen
> schreiben soll ich mach dafür einfach nen ' ..
>
> also im prinzip muss ich erst [mm]r(\varphi)[/mm] ableiten was
> folgendes ergibt: [mm]r'(\varphi)= \bruch{-8}{3-2cos(\varphi)}[/mm]
Diese Ableitung mußt Du nochmal nachrechnen.
[mm]\blue{r'(\varphi)=} \red{\bruch{-8}{3-2cos(\varphi)}}[/mm]
>
> dann in folgende formel einsetzen..
>
> [mm]y'(\varphi)=\bruch{r'*sin(\varphi)+r*cos(\varphi)}{r'*cos(\varphi)-r*sin(\varphi)}[/mm]
>
>
> was bei mir folgendes ergibt:
>
> [mm]\bruch{-(8sin(\varphi)-16cos^2(x))}{-(8cos(\varphi)+16sin^2(x))}[/mm]
>
> so wenn ich mich bis dahin nicht verrechnet oder
> verschrieben habe :) ist mein problem das ich jetzt ja
> [mm]8sin(\varphi)-16cos^2(x))=0[/mm] setzen muss und die nullstellen
> suchen und der andere ausdruck [mm]8cos(\varphi)+16sin^2(x)[/mm]
> muss ich ja auch =0 setzen und die nullstellen suchen und
> da häng ich im moment, wie komm ich da an das x ??
>
> mfg stargate
Gruß
MathePower
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hi
öh ich hab ads qudrat vergessen hinzuschschreiben..
richtig müsste es heißen..
$ [mm] r'(\varphi)= \bruch{-8}{(3-2cos(\varphi))^2} [/mm] $
die restlichen rechnungen von oben sollten aber stimmen, dort hab ich mit der richtigen ableitung gerechnet...
also ich bin jetzt ein bisschen weiter und zwar habe ich wie mein vorredner schon gesagt hat, bei [mm] 8sin(\varphi)-16cos^2(\varphi) [/mm] den [mm] cos^2 [/mm] mit [mm] (1-sin^2(\varphi) [/mm] ersetzt da kam dann bei mir folgendes raus:
[mm] sin^2(\varphi)+\bruch{1}{2}sin(\varphi)-1=0
[/mm]
dass dann subst: [mm] sin(\varphi)=x
[/mm]
ergibt [mm] x^2+\bruch{1}{2}x-1=0
[/mm]
aufgelöst ergibt dass bei mir [mm] \bruch{1}{2}+-\sqrt((\bruch{1}{2})^2+1)
[/mm]
was bei mir x= [mm] \bruch{1+\sqrt(5)}{2} [/mm] ergibt dann rücksubst.
ergibt bei mir [mm] \varphi=arcsin(\bruch{1+\sqrt(5)}{2}) [/mm] allerdings komt da nen error raus, irgendwo muss ich mich dann wohl verrechnet haben !?
mfg stargate
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Hallo stargate2k,
> hi
>
> öh ich hab ads qudrat vergessen hinzuschschreiben..
>
> richtig müsste es heißen..
>
> [mm]r'(\varphi)= \bruch{-8}{(3-2cos(\varphi))^2}[/mm]
Das stimmt leider auch nicht.
Richtig muß es heißen:
[mm]r'(\varphi)= \bruch{\red{-4 \sin\left(\varphi\right)}}{(3-2cos(\varphi))^2}[/mm]
>
> die restlichen rechnungen von oben sollten aber stimmen,
> dort hab ich mit der richtigen ableitung gerechnet...
>
> also ich bin jetzt ein bisschen weiter und zwar habe ich
> wie mein vorredner schon gesagt hat, bei
> [mm]8sin(\varphi)-16cos^2(\varphi)[/mm] den [mm]cos^2[/mm] mit
> [mm](1-sin^2(\varphi)[/mm] ersetzt da kam dann bei mir folgendes
> raus:
>
> [mm]sin^2(\varphi)+\bruch{1}{2}sin(\varphi)-1=0[/mm]
>
> dass dann subst: [mm]sin(\varphi)=x[/mm]
>
> ergibt [mm]x^2+\bruch{1}{2}x-1=0[/mm]
>
> aufgelöst ergibt dass bei mir
> [mm]\bruch{1}{2}+-\sqrt((\bruch{1}{2})^2+1)[/mm]
>
> was bei mir x= [mm]\bruch{1+\sqrt(5)}{2}[/mm] ergibt dann
> rücksubst.
>
> ergibt bei mir [mm]\varphi=arcsin(\bruch{1+\sqrt(5)}{2})[/mm]
> allerdings komt da nen error raus, irgendwo muss ich mich
> dann wohl verrechnet haben !?
>
> mfg stargate
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Fr 12.12.2008 | | Autor: | stargate2k |
hi
oh sorry, heut bin ich glaub nen bissel durcheinander :), die ausgangsgleichung lautet so..
$ [mm] \bruch{4}{3-2cos(\varphi)} B:(0<=\varphi <2\pi) [/mm] $
damit müsste meine ableitung aber stimmen.. wie gesagt bei den nullstellen kommt beim letzen schritt nen error..
mfg stargate
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Hallo stargate2k,
> hi
>
> oh sorry, heut bin ich glaub nen bissel durcheinander :),
> die ausgangsgleichung lautet so..
>
> [mm]\bruch{4}{3-2cos(\varphi)} B:(0<=\varphi <2\pi)[/mm]
>
> damit müsste meine ableitung aber stimmen.. wie gesagt bei
> den nullstelle kommt beim letzen schritt nen error..
Deine Ableitung von r stimmt dann bis auf eine Kleinigkeit:
[mm]r'\left(\varphi\right)=\bruch{-8 \ \red{\sin\left(\varphi\right)}}{\left(3-2*\cos\left(\varphi\right)\right)^{2}}[/mm]
>
> mfg stargate
Gruß
MathePower
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hi
ok ich hatte die ableitung auch richtig nur wieder falsch abgeschrieben :)
also wenn ich die ableitung $ [mm] r'\left(\varphi\right)=\bruch{-8 \ \red{\sin\left(\varphi\right)}}{\left(3-2\cdot{}\cos\left(\varphi\right)\right)^{2}} [/mm] $
in diese formel einsetze $ [mm] y'(\varphi)=\bruch{r'\cdot{}sin(\varphi)+r\cdot{}cos(\varphi)}{r'\cdot{}cos(\varphi)-r\cdot{}sin(\varphi)} [/mm] $
kommt folgendes raus...
[mm] \bruch{-8sin^2(\varphi)+16cos^2(\varphi)}{-8sin(\varphi)*cos(\varphi)-16sin^2(\varphi)}
[/mm]
dann muss ich ja [mm] -8sin^2(\varphi)+16cos^2(\varphi)=0 [/mm] setzen und die nullstellen finden und das ergebniss noch in die kartesische form bringen und in [mm] x=r(\varphi)*cos(\varphi)
[/mm]
[mm] y=r(\varphi)*sin(\varphi) [/mm] einsetzen dann bekomme ich die punkte für die horizontale tangente oder ??
also bei den nullstellen kommt bei mir folgendes raus:
[mm] sin(\varphi)=\sqrt(\bruch{2}{3}) [/mm] -> [mm] \varphi=arcsin(\sqrt(\bruch{2}{3}))= [/mm] 0,955
dann in die obige gleichung für x und y einsetzen gibt bei mir für x=1,252 und für y=1,7699
so dann der 2. teil im nennen muss ich ja auch noch 0 setzen für die vertikale tangente..
[mm] -8sin(\varphi)*cos(\varphi)-16sin^2(\varphi)=0
[/mm]
da häng ich im moment ich habe es aufgelöst bis:
[mm] 8sin*(\varphi)(cos(\varphi)+2*sin(\varphi))
[/mm]
[mm] 8sin(\varphi) [/mm] darf ja nicht 0 werden aber wie löse ich jetzt
[mm] cos(\varphi)+2*sin(\varphi) [/mm] ? wenn ichs umstelle habe ich [mm] \bruch{cos(\varphi)}{sin(\varphi)}=-2
[/mm]
kann ich dsa jetzt grad nach [mm] \varphi [/mm] auflösen ?
also arccot(-2) !? und dann wie oben die nulstelle wieder in x und y einsetzen !?
hier vll nochmal die aufgabenstellung:
"Wo haben die folgenden Abbildungen im zu untersuchenden Bereich B horizontale und vertikale Tangenten? Geben Sie die Berührpunkte mit der Kurve in kartesischen Korrdinaten an."
mfg stargate
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Hallo stargate2k,
> hi
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> ok ich hatte die ableitung auch richtig nur wieder falsch
> abgeschrieben :)
>
> also wenn ich die ableitung
> [mm]r'\left(\varphi\right)=\bruch{-8 \ \red{\sin\left(\varphi\right)}}{\left(3-2\cdot{}\cos\left(\varphi\right)\right)^{2}}[/mm]
>
> in diese formel einsetze
> [mm]y'(\varphi)=\bruch{r'\cdot{}sin(\varphi)+r\cdot{}cos(\varphi)}{r'\cdot{}cos(\varphi)-r\cdot{}sin(\varphi)}[/mm]
>
> kommt folgendes raus...
>
> [mm]\bruch{-8sin^2(\varphi)+16cos^2(\varphi)}{-8sin(\varphi)*cos(\varphi)-16sin^2(\varphi)}[/mm]
Rechne das nochmal nach.
>
> dann muss ich ja [mm]-8sin^2(\varphi)+16cos^2(\varphi)=0[/mm]
> setzen und die nullstellen finden und das ergebniss noch
> in die kartesische form bringen und in
> [mm]x=r(\varphi)*cos(\varphi)[/mm]
> [mm]y=r(\varphi)*sin(\varphi)[/mm] einsetzen dann bekomme ich die
> punkte für die horizontale tangente oder ??
>
> also bei den nullstellen kommt bei mir folgendes raus:
>
> [mm]sin(\varphi)=\sqrt(\bruch{2}{3})[/mm] ->
> [mm]\varphi=arcsin(\sqrt(\bruch{2}{3}))=[/mm] 0,955
>
> dann in die obige gleichung für x und y einsetzen gibt bei
> mir für x=1,252 und für y=1,7699
>
>
> so dann der 2. teil im nennen muss ich ja auch noch 0
> setzen für die vertikale tangente..
>
> [mm]-8sin(\varphi)*cos(\varphi)-16sin^2(\varphi)=0[/mm]
>
> da häng ich im moment ich habe es aufgelöst bis:
>
> [mm]8sin*(\varphi)(cos(\varphi)+2*sin(\varphi))[/mm]
>
> [mm]8sin(\varphi)[/mm] darf ja nicht 0 werden aber wie löse ich
> jetzt
>
> [mm]cos(\varphi)+2*sin(\varphi)[/mm] ? wenn ichs umstelle habe ich
> [mm]\bruch{cos(\varphi)}{sin(\varphi)}=-2[/mm]
>
> kann ich dsa jetzt grad nach [mm]\varphi[/mm] auflösen ?
>
> also arccot(-2) !? und dann wie oben die nulstelle wieder
> in x und y einsetzen !?
>
> hier vll nochmal die aufgabenstellung:
>
> "Wo haben die folgenden Abbildungen im zu untersuchenden
> Bereich B horizontale und vertikale Tangenten? Geben Sie
> die Berührpunkte mit der Kurve in kartesischen Korrdinaten
> an."
>
>
> mfg stargate
>
>
Gruß
MathePower
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hi
also ich komme immer noch auf $ [mm] \bruch{-8sin^2(\varphi)+16cos^2(\varphi)}{-8sin(\varphi)\cdot{}cos(\varphi)-16sin^2(\varphi)} [/mm] $
keine ahnung was da falsch sein soll ?
mfg stargate
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Hallo stargate2k,
> hi
>
> also ich komme immer noch auf
> [mm]\bruch{-8sin^2(\varphi)+16cos^2(\varphi)}{-8sin(\varphi)\cdot{}cos(\varphi)-16sin^2(\varphi)}[/mm]
>
>
> keine ahnung was da falsch sein soll ?
Auf Anhieb kann ich Dir das auch nicht sagen.
Sind da die Bedingungen für horizontale/vertikale Tangenten
für die Werte, die Du für [mm]\varphi[/mm] erhältst, erfüllt?
Ich habe jedenfalls einen handlicheren Ausdruck heraus.
>
> mfg stargate
Gruß
MathePower
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hi
ja auf welchen ausdruck bist du gekommen ?
wenn ich die werte für r´ und r einsetze kommt bei mir sowas raus
[mm] \bruch{\bruch{-8sin^2(\varphi)}{(3-2cos(\varphi))^2}+\bruch{4}{3-2cos(\varphi)}}{\bruch{-8sin(\varphi)*cos(\varphi)}{(3-2cos(\varphi))^2}-\bruch{4*sin(\varphi)}{3-2cos(\varphi)}}
[/mm]
dann halt noch oben und unten auf den gleichen nenner bringen und den kehrwert bilden so komme ich auf meine ergebnis...
ist denn der rechenweg wie ich ihn hier beschrieben habe https://matheraum.de/read?t=486067 überhaupt
so richtig ? die aufgabenstellung hab ich ja in dem obigen link auch nochmal geschrieben..
mfg stargate
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Hallo stargate2k,
> hi
>
> ja auf welchen ausdruck bist du gekommen ?
>
[mm]\bruch{2-3*\cos\left(\varphi\right}{sin\left(\varphi\right)}[/mm]
> wenn ich die werte für r´ und r einsetze kommt bei mir
> sowas raus
>
> [mm]\bruch{\bruch{-8sin^2(\varphi)}{(3-2cos(\varphi))^2}+\bruch{4}{3-2cos(\varphi)}}{\bruch{-8sin(\varphi)*cos(\varphi)}{(3-2cos(\varphi))^2}-\bruch{4*sin(\varphi)}{3-2cos(\varphi)}}[/mm]
Im Zähler fehlt etwas:
[mm]\bruch{-8sin^2(\varphi)}{(3-2cos(\varphi))^2}+\bruch{4*\red{ \ \cos\left(\varphi\right)\ }}{3-2cos(\varphi)}[/mm]
>
> dann halt noch oben und unten auf den gleichen nenner
> bringen und den kehrwert bilden so komme ich auf meine
> ergebnis...
>
> ist denn der rechenweg wie ich ihn hier beschrieben habe
> https://matheraum.de/read?t=486067 überhaupt
> so richtig ? die aufgabenstellung hab ich ja in dem obigen
> link auch nochmal geschrieben..
Ja, der ist richtig.
Wobei für die Bestimmung der horizontalen/vertiklen Tangenten
nur die entsprechend Ableitung untersucht werden muß.
Das heißt:
horizontale Tangenten: [mm]\dot{y}\left(\varphi\right)=0, \ \dot{x}\left(\varphi\right) \not= 0[/mm]
vertikale Tangenten: [mm]\dot{x}\left(\varphi\right)=0, \ \dot{y}\left(\varphi\right) \not= 0[/mm]
>
> mfg stargate
Gruß
MathePower
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hi
ich glaub ich rechen morgen erst wieder weiter,
$ [mm] \bruch{-8sin^2(\varphi)}{(3-2cos(\varphi))^2}+\bruch{4\cdot{}\red{ \ \cos\left(\varphi\right)\ }}{3-2cos(\varphi)} [/mm] $
so hab ich es natürlich auch rausbekommen nur wieder die [mm] cos(\varphi) [/mm] vergessen hier hinzuschreiben :)
aber wie du auf den kurzen ausdruck kommst, ist mir immer noch nicht klar, die obige formel auf den gleichen nenner gebracht sieht so aus bei
mir..
[mm] \bruch{\bruch{-8sin^2(\varphi)+16cos^2(\varphi)}{(3-2cos(\varphi))^2}}{\bruch{-8sin(\varphi)*cos(\varphi)-16*sin^2(\varphi)}{(3-2cos(\varphi))^2}}
[/mm]
wenn ich dann den kehrwert machen, kürzen sich die beiden [mm] (3-2cos(\varphi))^2 [/mm] ja raus so komme ich dann auf meinen wert, und das ist ja [mm] \bruch{\dot{x}}{\dot{y}}
[/mm]
bei denen ich dann die nullstellen suche...
mfg stargate
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Hallo stargate2k,
> hi
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> ich glaub ich rechen morgen erst wieder weiter,
>
> [mm]\bruch{-8sin^2(\varphi)}{(3-2cos(\varphi))^2}+\bruch{4\cdot{}\red{ \ \cos\left(\varphi\right)\ }}{3-2cos(\varphi)}[/mm]
>
> so hab ich es natürlich auch rausbekommen nur wieder die
> [mm]cos(\varphi)[/mm] vergessen hier hinzuschreiben :)
>
> aber wie du auf den kurzen ausdruck kommst, ist mir immer
> noch nicht klar, die obige formel auf den gleichen nenner
> gebracht sieht so aus bei
> mir..
>
>
> [mm]\bruch{\bruch{-8sin^2(\varphi)+16cos^2(\varphi)}{(3-2cos(\varphi))^2}}{\bruch{-8sin(\varphi)*cos(\varphi)-16*sin^2(\varphi)}{(3-2cos(\varphi))^2}}[/mm]
>
> wenn ich dann den kehrwert machen, kürzen sich die beiden
> [mm](3-2cos(\varphi))^2[/mm] ja raus so komme ich dann auf meinen
> wert, und das ist ja [mm]\bruch{\dot{x}}{\dot{y}}[/mm]
>
> bei denen ich dann die nullstellen suche...
[mm]\dot{y}\left(\varphi\right)=\bruch{-8*sin^2(\varphi)}{(3-2cos(\varphi))^2}+\bruch{4* \cos\left(\varphi\right)}{3-2cos(\varphi)}[/mm]
[mm]=\bruch{-8*\sin^{2}\left(\varphi\right)+4*\cos\left(\varphi\right)*\left(3-2*\cos\left(\varphi\right)\right)}{\left( \ 3-2*\cos\left(\varphi\right) \ \right)^{2}}[/mm]
[mm]=\bruch{-8*\sin^{2}\left(\varphi\right)+12*\cos\left(\varphi\right)-8*\cos^{2}\left(\varphi\right)}{\left( \ 3-2*\cos\left(\varphi\right) \ \right)^{2}}[/mm]
[mm]=\bruch{-8+12*\cos\left(\varphi\right)}{\left( \ 3-2*\cos\left(\varphi\right) \ \right)^{2}}=4*\bruch{3*\cos\left(\varphi\right)-2}{\left( \ 3-2*\cos\left(\varphi\right) \ \right)^{2}}[/mm]
Für [mm]\dot{x}\left(\varphi\right)[/mm] machst Du dasselbe.
>
> mfg stargate
Gruß
MathePower
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hi
für [mm] \dot{x} [/mm] hab ich jetzt [mm] -3sin(\varphi) [/mm] rausbekommen
das ist ja bei [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] =0
und dass dann wieder in [mm] x=r(\varphi)*cos(\varphi) [/mm] und [mm] y=r(\varphi)*sin(\varphi) [/mm] einsetzen für die vertikale tangente?
oder liegt das nicht mehr in dem bereich B ??
mfg stargate
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Hallo stargate2k,
> hi
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> für [mm]\dot{x}[/mm] hab ich jetzt [mm]-3sin(\varphi)[/mm] rausbekommen
>
> das ist ja bei [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] =0
![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]")
[mm]\sin\left(\varphi\right)[/mm] ist aber 0 für [mm]\varphi=k*\pi[/mm]
>
> und dass dann wieder in [mm]x=r(\varphi)*cos(\varphi)[/mm] und
> [mm]y=r(\varphi)*sin(\varphi)[/mm] einsetzen für die vertikale
> tangente?
Jo.
>
> oder liegt das nicht mehr in dem bereich B ??
Der Bereich B erstreckt sich nur über den Winkel.
Und der liegt in diesem Bereich B.
>
> mfg stargate
Gruß
MathePower
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hi
also ich hab jetzt 2 punkte raus für die vertikale tangente einmal P1(4,0) und einmal [mm] p2(-\bruch{4}{5};0)
[/mm]
der erste punkt für 0 und der 2, für [mm] \pi [/mm] beim sinus :)
P2 liegt dann nicht mehr in B ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 So 14.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
B geht doch von 0 bis [mm] 2*\pi [/mm] warum sollte dann [mm] \pi [/mm] nicht drinliegen?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 So 14.12.2008 | | Autor: | stargate2k |
hi
ah ok ich hab falsch geschaut bei den x werten ich muss ja die [mm] \varphi [/mm] nulstellen anschauen :)
danke nochmal für eure hilfe, war ne schwere geburt :)
mfg stargate
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