hypergeometrische Verteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Fr 18.06.2010 | | Autor: | MrTommy |
| Aufgabe | Aus einer Urne mit zwei schwarzen und zwei roten Kugeln wird viermal ohne
Zurücklegen gezogen.
Betrachten Sie die Zufallsvariablen
X = “Anzahl des Zuges, in dem die zweite rote Kugel gezogen wird.”
Y = “Anzahl der schwarzen Kugeln, die in den ersten drei Z¨ugen gezogen werden.”
(a) Bestimmen Sie die Verteilung von X und Y.
(b) Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung der einzelnen Zufallsvariablen. |
Ich habe mir zur erst ein Baumdiagramm gezeichnet und dann für
X= 6 = (r,r) (r,s,r) (r,s,s,r) (s,r,r) (s,r,s,r) (s,s,r,r) mit jeweils 1/6 wahrscheinlichkeit
Y= (r,r,s) (r,s,r) (s,r,r) (s,s,r) (r,s,s) (s,r,s)
Wie nun stelle ich die Verteilungsfunktion auf? geht das über die Formel der hyperg. Verteilung ?!
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Huhu,
erstmal eins vorweg: Du hast Urbilder versucht herauszufinden, und die fangen schonmal nicht mit X = 6 an, zumal das auch falsch ist, denn X=6 kann gar nicht auftreten und somit ist das Urbild dazu immer leer.
Desweiteren ist X eine Abbildung von deinen Tupeln in die natürlichen Zahlen!
Bspw. ist: [mm]X[(r,r,s,s)] = 2[/mm] und $X[(r,s,r,s)] = 3$ aber auch $X[(s,r,r,s)] = 3$
So, nun sollst du ja die Verteilung von X berechnen, d.h.
[mm] $\IP(X=k)$ [/mm] für [mm] $k\in\IN$. [/mm] Offensichtlich ist [mm] $\IP(X=k)=0$ [/mm] für fast alle k. Für welche nicht? Und wie ist da der Wert von [mm] $\IP(X=k)$ [/mm] ?
So, analog dazu für Y.
Überleg dir erstmal, welche Werte Y überhaupt annehmen kann und welche nicht.
Was wäre z.B. $Y[(r,r,s,s)]$?
Wenn du dir das überlegst hast, musst du auch wieder
[mm] $\IP(Y=k)$ [/mm] für [mm] $k\in\IN$ [/mm] berechnen, wobei wieder gilt [mm] $\IP(Y=k)=0$ [/mm] für fast alle k. Für welche nicht und welchen Wert hat [mm] $\IP(Y=k)$ [/mm] dort?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Sa 19.06.2010 | | Autor: | MrTommy |
Ich bin mir nicht so ganz sicher, ob ich die Aufgabe wirklich verstanden habe
Also setzte ich nun für k, die Anzahl der Züge ein die ich benötige um die zweite rote Kugel zu erhalten.
Das wenn k=1 also nur ein Zug, mein X=0 wäre, da ich keine zwei rote Kugeln bei einmaligem ziehen erhalten kann usw. für k=2, X=1 , sodass ich dann daraus eine Verteilung erhalte.. und daraus eine Funktion mir herleiten soll?
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Huhu,
eine kleine Frage vorweg: Auf welchem Niveau bewegen wir uns denn?
In deinen Angaben steht Mathe-LK 12, allerdings bezweifel ich da, dass man mit Zufallsvariablen arbeitet, insofern bin ich gerade etwas verwirrt.
> Also setzte ich nun für k, die Anzahl der Züge ein die
> ich benötige um die zweite rote Kugel zu erhalten.
Genau, und guckst dir dann an, welche Tupel das alles erfüllen.
> Das wenn k=1 also nur ein Zug, mein X=0 wäre, da ich
> keine zwei rote Kugeln bei einmaligem ziehen erhalten kann
> usw.
So, hier ein schwerwiegender Fehler in der Notation.
Dass für k=1 dein X=0 wäre ist schlichtweg falsch, denn:
Da steht X=k. Für k=1 steht da X=1 und NICHT X=0, das ist schlichtweg falsch.
Du meinst sicherlich wörtlich "Es gibt keine Tupel, die X=1 erfüllen."
Schauen wir uns die Menge aller Tupel, die möglich sind, doch mal an:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{(r,r,s,s), (r,s,r,s), (r,s,s,r),(s,r,r,s),(s,r,s,r),(s,s,r,r)\}$
[/mm]
Und haben wir unsere Zufallsvariable X.
Jetzt halten wir fest: [mm] $\{X=k\}$ [/mm] ist eine Teilmenge von [mm] \Omega! [/mm] Denn es gilt, erstmal in Worten: [mm] $\{X=k\}$ [/mm] ist die Menge aller der Tupel [mm] \omega\in\Omega [/mm] für die [mm] $X(\omega)=k$ [/mm] ist.
In Formeln:
[mm] $\{X=k\} [/mm] = [mm] \{\omega\in\Omega | X(\omega)=k\}$.
[/mm]
Nun bestimme doch mal direkt [mm] $\{X=2\}$ [/mm] als Menge von Tupeln und ich schau, obs stimmt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 20.06.2010 | | Autor: | MrTommy |
Eigentlich habe ich Mathe als Nebenfach, doch bisher habe ich solche Arten von Verteilung noch nie in meinem Leben zuvor gemacht und in der Vorlesung wurde es auch noch nicht erwähnt.
Vielen Dank Für Deine Hilfe übrigens...
[mm]\Omega = \{(r,r,s,s), (r,s,r,s), (r,s,s,r),(s,r,r,s),(s,r,s,r),(s,s,r,r)\}[/mm]
Dann gilt für {X=2} nur ein Tupel, und zwar (r,r,s,s) ?
{X=3} =(r,s,r,s), (s,r,r,s)
{X=4} = (r,s,s,r), (s,r,s,r),(s,s,r,r)
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Huhu,
> Eigentlich habe ich Mathe als Nebenfach, doch bisher habe
> ich solche Arten von Verteilung noch nie in meinem Leben
> zuvor gemacht und in der Vorlesung wurde es auch noch nicht
> erwähnt.
Naja, ihr habt bestimmt definiert, was eine Zufallsvariable ist.
Die Verteilung ist dann einfach
[mm] $\IP(X=k), k\in\IN$ [/mm] für diskrete Zufallsvariablen bzw
[mm] $\IP(X\le [/mm] c), [mm] c\in\IR$ [/mm] für stetige Zufallsvariablen
D.h. du mißt die Menge, für die $X=k$ bzw [mm] $X\le [/mm] c$ gilt.
> [mm]\Omega = \{(r,r,s,s), (r,s,r,s), (r,s,s,r),(s,r,r,s),(s,r,s,r),(s,s,r,r)\}[/mm]
>
> Dann gilt für {X=2} nur ein Tupel, und zwar (r,r,s,s) ?
Korrekt.
> {X=3} =(r,s,r,s), (s,r,r,s)
Korrekt.
> {X=4} = (r,s,s,r), (s,r,s,r),(s,s,r,r)
Korrekt.
Eine Anmerkung: Hinten fehlen die Mengenklammern, denn als Ergebnis kommt ja eine Menge raus, die einmal aus einer, einmal aus 2 und einmal aus 3 Tupeln besteht, also sauber aufgeschrieben würde da stehen:
{X=4} = {(r,s,s,r), (s,r,s,r),(s,s,r,r)}
Die Verteilung ist ja nun nicht {X=4} sondern [mm] $\IP(\{X=4\})$.
[/mm]
Wie gross ist denn nun [mm] $\IP(\{X=4\})$?
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 So 20.06.2010 | | Autor: | MrTommy |
> Wie gross ist denn nun [mm]\IP(\{X=4\})[/mm]?
-> [mm]\IP(\{X=4\})[/mm] = 1/2
Analog sollte dann für Y :
{Y=0})={0} [mm]\IP(\{Y=0\})[/mm]=0
{Y=1} ={(r,s,r,s), (s,r,r,s) (r,r,s,s)} [mm]\IP(\{Y=1\})[/mm] = 1/6
{Y=2})={(r,s,s,r), (s,r,s,r),(s,s,r,r)} [mm]\IP(\{Y=2\})[/mm] = 1/6
{Y=3} ={0} [mm]\IP(\{Y=4\})[/mm] =0
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> > Wie gross ist denn nun [mm]\IP(\{X=4\})[/mm]?
>
> -> [mm]\IP(\{X=4\})[/mm] = 1/2
Korrekt, und nun musst du natürlich noch allgemein P(X=k) angeben, um die vollständige Verteilung anzugeben.
> Analog sollte dann für Y :
>
> {Y=0})={0} [mm]\IP(\{Y=0\})[/mm]=0
Zur Schreibweise: {0} ist die Menge, die die 0 enthält und NICHT die leere Menge, was hier korrekt wäre. Es gilt also:
[mm] $\{Y=0\}=\emptyset$
[/mm]
> {Y=1} ={(r,s,r,s), (s,r,r,s) (r,r,s,s)} [mm]\IP(\{Y=1\})[/mm] =
> 1/6
Ok, die Menge hast du richtig heraus, aber wie kommst du auf die [mm] \bruch{1}{6} [/mm] ?
> {Y=2})={(r,s,s,r), (s,r,s,r),(s,s,r,r)} [mm]\IP(\{Y=2\})[/mm] =
> 1/6
Genauso hier.
> {Y=3} ={0} [mm]\IP(\{Y=4\})[/mm] =0
und hier wieder der Fehler mit der leeren Menge.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 So 20.06.2010 | | Autor: | MrTommy |
Du hast recht, ich habe es auch gerade bemerkt , es muss natürlich jeweils
> > {Y=2})={(r,s,s,r), (s,r,s,r),(s,s,r,r)} [mm]\IP(\{Y=2\})[/mm] = 1/2
rauskommen.
Danke!
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Korrekt 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 So 20.06.2010 | | Autor: | MrTommy |
Danke Gonzo IX !
Mit welchem Ansatz löse ich nun die b) ?
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Na such dir doch erstmal raus, wie die einzelnen Dinge definiert sind und dann komm erstmal mit eigenen Ansätzen.....
mFG,
Gono.
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