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| Aufgabe | P(k,n,R,N) ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Ziehen ohne Zurücklegen von n Kugeln aus einer Urne mit R roten und N-R schwarzen Kugeln genau k rote Kugeln gezogen werden. Seien [mm] (N_i)_{i=1}^{\infty} [/mm] und [mm] (R_i)_{i=1}^{\infty} [/mm] zwei Folgen natürlicher Zahlen mit [mm] \limes_{i\rightarrow\infty}N_i=\infty [/mm] und [mm] \limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{R_i}{N_i}=p\in [/mm] (0,1)
Bestimme [mm] \limes_{i\rightarrow\infty}P(k,n,R_i,N_i) [/mm] wobei k,n fest sind |
Könnt ihr mir Tipps geben wie ich [mm] \limes_{i\rightarrow\infty}P(k,n,R_i,N_i) [/mm] bestimmen kann?
Ich weiß nicht wie man das bestimmen muss.
Über Tipss wäre ich sehr dankbar!
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Mo 28.11.2011 | | Autor: | abakus |
> P(k,n,R,N) ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Ziehen
> ohne Zurücklegen von n Kugeln aus einer Urne mit R roten
> und N-R schwarzen Kugeln genau k rote Kugeln gezogen
> werden. Seien [mm](N_i)_{i=1}^{\infty}[/mm] und [mm](R_i)_{i=1}^{\infty}[/mm]
> zwei Folgen natürlicher Zahlen mit
> [mm]\limes_{i\rightarrow\infty}N_i=\infty[/mm] und
> [mm]\limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{R_i}{N_i}=p\in[/mm] (0,1)
>
> Bestimme [mm]\limes_{i\rightarrow\infty}P(k,n,R_i,N_i)[/mm] wobei
> k,n fest sind
>
> Könnt ihr mir Tipps geben wie ich
> [mm]\limes_{i\rightarrow\infty}P(k,n,R_i,N_i)[/mm] bestimmen kann?
> Ich weiß nicht wie man das bestimmen muss.
>
> Über Tipss wäre ich sehr dankbar!
>
> Mathegirl
Bei einer sehr großen Anzahl vorhandener Kugeln macht es praktisch keinen Unterschied, ob man die vergleichsweise wenigen gezogenen Kugeln draußen lässt oder wieder zurücklegt. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit konvergiert also gegen die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen mit Zurücklegen.
Gruß Abakus
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Was ist in dem Fall die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen mit Zurücklegen?
Das Problem ist bei mir, das ganze zu formulieren, also wie ich das formal richtig ausdrücke.
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Di 29.11.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ohne die laestige Indiziererei ist
[mm] $P(k,n,R,N)=\frac{\dbinom{R}{k}\dbinom{N-R}{n-k}}{\dbinom{N}{n}}=\frac{R!(N-R)!n!(N-n)!}{N!k!(R-K)!(n-k)!(N-R-n+k)!}=\binom{n}{k}\dfrac{\dbinom{N-n}{R-k}} {\dbinom{N}{R}}$
[/mm]
Es bleibt zu zeigen, dass
[mm] $\dfrac{\dbinom{N-n}{R-k}} {\dbinom{N}{R}}$\to(\dfrac{R}{N})^k(1-\dfrac{R}{N})^{n-k}$.
[/mm]
Hierzu ist mir noch nichts Gescheites eingefallen. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Aber vielleicht kannst du ja jetzt mal uebernehmen.
vg Luis
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