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| Aufgabe | | es soll zwischen den beiden hypothesen [mm] H_1:p=0,1 [/mm] und [mm] H_2:p=0,3 [/mm] entschieden werden. stichprobenumfang und entscheidungsregel sind so zu bestimmen, dass beide risiken in der nähe von 2% liegen. |
lösung müsste sein: n= 61 ; [mm] A_1={0;1;...11}
[/mm]
aber wie kommt man darauf? man muss das ja mit der normalverteilung berechnen, oder? aber das funktioniert einfach nicht....
danke:)
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ich hab so gerechnet:
[mm] 1-\summe_{i=0}^{c}B(n;0,1;i) [/mm] = 0,02
[mm] \summe_{i=0}^{c}B(n;0,3;i)= [/mm] 0,02
dann rechne ich mit der normalverteilung und mit hilfe der quantile im tafelwerk erhalte ich folgende gleichungen:
1. [mm] \bruch{c-0,1n}{\wurzel{0,09n}}=1,960
[/mm]
2. [mm] \bruch{c-0,3n}{0,21n}= [/mm] -1,960
aber auch dann kommt nicht das richtige ergebnis raus....
was mach ich denn falsch??
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Hallöchen ^^
Also, diese Art von Hypothesentests ist rechnerisch nicht lösbar, zumindest für die Schulmathematik bis zum Abitur, bzw. für meine Schulmathematik. Die gängige Lösung in den Schulbüchern geht über probieren und den richtigen Wert in den Tabellen der kummulierten Wahrscheinlichkeit nachschauen. Anbei der Lösungsansatz:
> es soll zwischen den beiden hypothesen [mm]H_1:p=0,1[/mm] und
> [mm]H_2:p=0,3[/mm] entschieden werden. stichprobenumfang und
> entscheidungsregel sind so zu bestimmen, dass beide risiken
> in der nähe von 2% liegen.
> lösung müsste sein: n= 61 ; [mm]A_1={0;1;...11}[/mm]
[mm]H_1:p=0,1[/mm] ; [mm]H_2:p=0,3[/mm]
wie du schon richtig aufgestellt hast, würde eine Entscheidungsregel z.B. lauten:
[mm]X>K \Rightarrow H_2[/mm]
[mm]X\le K \Rightarrow H_1[/mm]
Wobei X die Anzahl an Treffern oder was auch immer beschreibt und K die kritische Zahl, bei dir wohl c
Wenn also X gleich oder weniger als die kritische Zahl K beträgt, wählt man [mm] H_1, [/mm] ansonsten [mm] H_2
[/mm]
Jetzt können wir die Fehler erster und zweiter Art bestimmen:
[mm]P(Fehler 1. Art)=P_H_1 (Entscheidung für H_2) = P(X>K) = 1-P(X=K) = 1-F(n;0,1;K) <0,02 =F(n;0,1;K)>0,98 [/mm] Gleichung I
[mm]P(Fehler 2. Art)=P_H_2 (Entscheidung für H_1) = P(X\le K) = P(X=K) = F(n;0,3;K) <0,02 [/mm] Gleichung II
Jetzt hat man für sein K zwei Bedingungen, die man dann eigentlich in einer Tabelle grob abschätzen kann...nur leider kann ich mir dann nicht ganz vorstellen, wie n=61 rauskommen soll, dies gibt es in keiner Schultabelle :/
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:58 Di 29.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo
Admantin hat wohl die Lösung über die Normalverteilung vergessen.
Dein Ansatz war so schon fast richtig.
Du hast nur vergessen, dass du da auch die Intervall berücksichtigen musst.
Davon ausgehend, dass H0 mit p=0,01 bei Werten < k angenommen würde, kommt man auf:
[mm] \phi(\bruch{n-n*0,01}{\wurzel{n*0,01*0,99}}) [/mm] - [mm] \phi(\bruch{k-n*0,01}{\wurzel{n*0,01*0,99}}) [/mm] = 0,02
Weil dann mit der Wkt. von p=0,01 die Werte x > k angenommen würden; also der [mm] \alpha- [/mm] Fehler aufträte.
[mm] \phi(\bruch{k-n*0,01}{\wurzel{n*0,03*0,97}}) [/mm] - [mm] \phi(\bruch{0-n*0,01}{\wurzel{n*0,03*0,97}}) [/mm] = 0,02
Weil dann mit der Wkt. von p=0,03 die Werte [mm] \le [/mm] als k angenommen würden; also der [mm] \alpha- [/mm] Fehler aufträte.
Daraus sollte sich nun ein lineares Gleichungssystem aufstellen lassen.
Ich behalte mir vor kleiner Fehler bei dem < [mm] \le [/mm] k gemacht zu haben aber sonst sollte es prinzipiell so stimmen.
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Di 29.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Erika,
ich habe eine Antwort, die man vielleicht auch mit Schultabellen finden kann.
Ich unterstelle, dass $n$ so gross gewaehlt wird, dass die
Approximation der Binomial- an die Normalverteilung klappt. Dann gilt
[mm] $P(X\le x\mid p)\approx\Phi\left(\dfrac{x+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$.
[/mm]
Gesucht sind Zahlen $n,c$ mit
[mm] $0.02\approx [/mm] P(X> [mm] c\mid p=0.1)=1-P(X\le c\mid p=0.1)\approx\Phi\left(\dfrac{c+0.5-0.1n}{\sqrt{0.09n}}\right)=0.02$
[/mm]
und
[mm] $0.02\approx P(X\le c\mid [/mm] p=0.3) [mm] \approx\Phi\left(\dfrac{c+0.5-0.3n}{\sqrt{0.21n}}\right)$.
[/mm]
Diese beiden Gleichungen sind aequivalent mit
[mm] $c+0.5-0.1n=2.054\sqrt{0.09n}$ [/mm] und [mm] $c+0.5-0.3n=-2.054\sqrt{0.21n}$,
[/mm]
die die Loesungen $n=60.64$ und $c=10.36$ haben.
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Di 29.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo Luis
Ich habe nur eine kleine Frage am Rand; wieso benutzt du hier den Ausgleichswert +0,5?
Ich meine mich daran zu erinnern, dass man ihn nur bei diskreten Verteilungen nutzt aber ist das denn hier gegeben?
Die 0,5 musste ja bei k hinzuaddiert werden, weil immer "die Hälfte eines Streifens im Histogramm, nämlich dem auf der y- Achse", abgeschnitten wurde", oder? (Entschuldige bitte die seltsame Formulierung aber treffender schaff ich das leider nicht)
Bzw. woran macht man das fest?
Falls, rein hypothetisch, hier n für die Größe eines 5 jährigen Kindes in cm stünde; würde man dann trotzdem den Ausgleichswert benutzen?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Di 29.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Hallo Luis
>
> Ich habe nur eine kleine Frage am Rand; wieso benutzt du
> hier den Ausgleichswert +0,5?
> Ich meine mich daran zu erinnern, dass man ihn nur bei
> diskreten Verteilungen nutzt aber ist das denn hier
> gegeben?
>
>
Erika hat das nicht explizit hingeschrieben, aber in ihrem Loesungsansatz
deutet einiges darauf hin, dass das p aus einer Bernoulliverteilung stammt,
und die Trefferwahrscheinlichkeit charakterisiert. Die Pruefgroesse X ist dann
binomialverteilt, hat also eine diskrete(!) Verteilung.
Hab's nicht ausprobiert, aber ich vermute, dass sich das Ergebnis nicht aendert,
wenn man die 1/2 weglaesst. Macht aber alles einfacher.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Di 29.01.2008 | | Autor: | Maggons |
Ok wunderbar; wollte nur mal da meinen Gedankengang verifizieren :)
Dankeschön, Ciao
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