ideale in faktoriellem Ring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Sa 13.08.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Ich lerne gerade für Algebra und frage mich:
- Maximale Ideale sind Prim
- In faktoriellen Ringen sind die Primelemente genau die irreduziblen Elemente
- In Hauptidealringen sind Primideale genau die durch irreduzible Elemente erzeugten Ideale.
- Hauptidealringe sind faktoriell.
- In Hauptidealringen sind die Primideale genau die durch ein irreduzibles Element erzeugten Ideale.
Und jetzt kommts: In Hauptidealringen sind ja die Primideale genau die maximalen Ideale. Gilt das auch bereits in faktoriellen Ringen? Gilt die Aussage, wenn man die durch ein irreduzibles Element erzeugten Primideale betrachtet?
Gruß, Harris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Sa 13.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Harris!
> Ich lerne gerade für Algebra und frage mich:
>
> - Maximale Ideale sind Prim
> - In faktoriellen Ringen sind die Primelemente genau die
> irreduziblen Elemente
> - In Hauptidealringen sind Primideale genau die durch
> irreduzible Elemente erzeugten Ideale.
> - Hauptidealringe sind faktoriell.
> - In Hauptidealringen sind die Primideale genau die durch
> ein irreduzibles Element erzeugten Ideale.
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> Und jetzt kommts: In Hauptidealringen sind ja die
> Primideale genau die maximalen Ideale. Gilt das auch
> bereits in faktoriellen Ringen?
Nein. Beispiel: $R = [mm] \IZ[X]$ [/mm] mit dem Ideal $(2)$ oder dem Ideal $(X)$: diese sind prim, jedoch nicht maximal. Oder $R = K[X, Y]$ mit den Idealen $(X)$ oder $(Y)$; diese snid ebenfalls prim, jedoch nicht maximal.
> Gilt die Aussage, wenn man
> die durch ein irreduzibles Element erzeugten Primideale
> betrachtet?
Ebenfalls nicht: die Elemente 2, X in [mm] $\IZ[X]$ [/mm] und $X, Y$ in $K[X, Y]$ sind prim und irreduzibel, die davon erzeugen Ideale auch Primideale, aber keine Maximalideale.
Was jedoch gilt: ist $R$ faktoriell und $p [mm] \in [/mm] R$ prim, so ist $(p)$ ein maximales Hauptideal in $R$: ist $(h)$ ein weiteres Ideal in $R$ mit $(p) [mm] \subseteq [/mm] (h) [mm] \subseteq [/mm] R$, so folgt $h [mm] \mid [/mm] p$, woraus $h [mm] \sim [/mm] p$ oder $h [mm] \sim [/mm] 1$ folgt, also $(h) = (p)$ oder $(h) = (1) = R$.
Es kann aber eben auch groessere echte Nicht-Hauptideale geben.
LG Felix
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