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| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und W := Hom(V,V) sei der Vektorraum der Endomorphismen von V. Weiter sei S := [mm] \{\phi \in Hom(V,V) | \phi \mbox{ ist idempotent}\} \subseteq [/mm] W.
Sei V endlichdimensional und dim(V)=n. Beweisen Sie, dass dim(<S>) = dim(W) = [mm] n^2, [/mm] also <S> = W. |
Hallo,
oben genannte Aufgabe beschäftigt mich zurzeit. Ich finde leider keinen passenden Ansatz. Vielleicht könnte man irgendwie zeigen, dass S [mm] \in M_n(K) [/mm] und Rg(S) = n ist. Dann würde (denke ich) daraus folgen, dass [mm] dim()=n^2. [/mm] dim(W) muss ja [mm] n^2 [/mm] sein aufgrund der Gesetze der Matrizenmultiplikation.
Wäre sehr dankbar für eure Hilfe!
Grüße und frohe Weihnachten,
Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Mi 23.12.2009 | | Autor: | pelzig |
Was du eigentlich zeigen sollst ist doch folgendes: Jeder Endomorphismus von V lässt sich schreiben als (endliche) Summe von idempotenten Abbildungen...
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:20 Fr 25.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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