idempotente matrix < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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wie zeige ich, dass eine irreduzible, idempotente (also [mm] P=P^2)stochastische [/mm] matrix symmetrisch ist.
ich weiß, dass gilt:
[mm] \summe_{j}p_{kj}*p_{ji}=p_{ki} [/mm] für alle k und i
[mm] \summe_{i}p_{ji}=1 [/mm] für alle j
ich habe bereits direkt versucht zu zeigen, dass [mm] p_{ij}=p_{ji} [/mm] ist und auch indirekt. komme aber nicht auf eine lösung. wahrscheinlich übersehe ich irgendetwas, z.b. eine bestimmte eigenschaft idempotenter matrizen.
bin über jede hilfe dankbar
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Mir scheint es sich hierbei um eine Eigenschaft idempotenter Matrizen zu handeln. Schließlich ist eine Abbildung mit $P=P^2$ ja nicht anderes, als eine orthogonale Projektion auf einen Untervektorraum.
Du kannst also $\IR^n=\mathrm{Kern}(P)\oplus \mathrm{Bild}(P)$ schreiben. Jetzt brauchst du nur noch eine ONB $\{v_1,\dots,v_k\}$ von $\mathrm{Kern}(P)$ und eine ONB $v_{k+1},\dots,v_n\}$ von $\mathrm{Bild}(P)$. Insgesamt ist $\{v_1,\dots,v_n\}$ eine ONB von $\IR^n$.
Die $v_j$ sind Eigenvektoren von $P$, es gilt nämlich $Pv_j=\begin{cases}0,&\mbox{falls } 1\le j\le k,\\v_j,&\mbox{falls } k+1\le j\le n. \end{cases}$
Und eine ONB aus Eigenvektoren liefern ja gerade die symmetrischen Matrizen...
Gruß, banachella
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