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| Aufgabe | a)
zeige, dass die Gleichung [mm] xe^x +ye^y +ze^z [/mm] = 0 in einer Umgebung um 0 eindeutig nach z auflösbar ist.
b)
warum lässt sich die Gleichung x+y+z-sin(xyz) in der Nähe von (0,0,0) eindeutig nach z auflösen? bestimme die partiellen Ableitungen der Auflösungsfunktion z = u(x,y). |
huhu zusammen,
ich übe grad dieses Thema ein und möchte ein paar Sachen durchgehen, die vlt nicht unbedingt zur Aufgabenstellung gehören, wie die zweite Ableitung der Auflösungsfunktion.
zu a)
dazu muss ich ja nur zeigen, dass [mm] f_z [/mm] (0,0,0) [mm] \not= [/mm] 0 ist.
also [mm] f_z =e^z [/mm] + [mm] e^z [/mm] * z [mm] \not= [/mm] 0 für z= 0
=> auflösbar in der Umgebung von 0.
zu b)
x+y+z-sin(xyz)
[mm] f_z [/mm] = 1-0 [mm] \not= [/mm] 0 in (0,0,0) somit eindeutig auflösbar in dieser Umgebung.
Ableitungsformel für die Auflösungsfunktion sind:
[mm] g_x [/mm] = - [mm] \bruch{f_x (x,y,z)}{f_z(x,y,z)} [/mm] und [mm] g_y [/mm] - [mm] \bruch{f_y (x,y,z)}{f_z(x,y,z)} [/mm]
also
[mm] g_x [/mm] = [mm] \bruch{1-zycos(xyz)}{1-xycos(xyz)} [/mm] und [mm] g_y [/mm] = [mm] \bruch{1-xzcos(xyz)}{1-xycos(xyz)}
[/mm]
Anschließend hätte ich eine Frage zur zweiten Ableitungsbildung:
mit 2 Variablen gilt ja g'(x) = - [mm] \bruch{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}, [/mm] y= y(x) = g(x), je nach Buch andre Schreibweise.
Dann ist doch g'' gegeben durch
- [mm] \bruch{f_{xx}(x,y)}{f_y(x,y)} [/mm] oder? wie sieht die zweite(n) Ableitung(en) bzw die Formel dafür bei 3 Variablen aus?
Mfg,
Eve
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Hallo EvelynSnowley2311,
> a)
> zeige, dass die Gleichung [mm]xe^x +ye^y +ze^z[/mm] = 0 in einer
> Umgebung um 0 eindeutig nach z auflösbar ist.
>
> b)
> warum lässt sich die Gleichung x+y+z-sin(xyz) in der
> Nähe von (0,0,0) eindeutig nach z auflösen? bestimme die
> partiellen Ableitungen der Auflösungsfunktion z = u(x,y).
> huhu zusammen,
>
> ich übe grad dieses Thema ein und möchte ein paar Sachen
> durchgehen, die vlt nicht unbedingt zur Aufgabenstellung
> gehören, wie die zweite Ableitung der
> Auflösungsfunktion.
>
> zu a)
>
> dazu muss ich ja nur zeigen, dass [mm]f_z[/mm] (0,0,0) [mm]\not=[/mm] 0 ist.
> also [mm]f_z =e^z[/mm] + [mm]e^z[/mm] * z [mm]\not=[/mm] 0 für z= 0
> => auflösbar in der Umgebung von 0.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu b)
>
> x+y+z-sin(xyz)
>
> [mm]f_z[/mm] = 1-0 [mm]\not=[/mm] 0 in (0,0,0) somit eindeutig auflösbar in
> dieser Umgebung.
>
> Ableitungsformel für die Auflösungsfunktion sind:
>
> [mm]g_x[/mm] = - [mm]\bruch{f_x (x,y,z)}{f_z(x,y,z)}[/mm] und [mm]g_y[/mm] -
> [mm]\bruch{f_y (x,y,z)}{f_z(x,y,z)}[/mm]
>
> also
>
> [mm]g_x[/mm] = [mm]\bruch{1-zycos(xyz)}{1-xycos(xyz)}[/mm] und [mm]g_y[/mm] =
> [mm]\bruch{1-xzcos(xyz)}{1-xycos(xyz)}[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]g_x = \bruch{\blue{-}1\blue{+}zycos(xyz)}{1-xycos(xyz)}[/mm]
[mm]g_y = \bruch{\blue{-}1\blue{+}xzcos(xyz)}{1-xycos(xyz)}[/mm]
> Anschließend hätte ich eine Frage zur zweiten
> Ableitungsbildung:
>
> mit 2 Variablen gilt ja g'(x) = -
> [mm]\bruch{f_x(x,y)}{f_y(x,y)},[/mm] y= y(x) = g(x), je nach Buch
> andre Schreibweise.
>
> Dann ist doch g'' gegeben durch
>
> - [mm]\bruch{f_{xx}(x,y)}{f_y(x,y)}[/mm] oder? wie sieht die
> zweite(n) Ableitung(en) bzw die Formel dafür bei 3
> Variablen aus?
>
Das kannst Du Dir durch zweimaliges implizites Differenzieren
von [mm]f\left( \ x,y\left(x\right) \ \right)=0[/mm] bzw. [mm]f\left( \ x, \ y , z\left(x,y\right) \ \right)=0[/mm] herleiten.
> Mfg,
>
> Eve
Gruss
MathePower
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> Hallo EvelynSnowley2311,
>
> > a)
> > zeige, dass die Gleichung [mm]xe^x +ye^y +ze^z[/mm] = 0 in einer
> > Umgebung um 0 eindeutig nach z auflösbar ist.
> >
> > b)
> > warum lässt sich die Gleichung x+y+z-sin(xyz) in der
> > Nähe von (0,0,0) eindeutig nach z auflösen? bestimme die
> > partiellen Ableitungen der Auflösungsfunktion z = u(x,y).
> > huhu zusammen,
> >
> > ich übe grad dieses Thema ein und möchte ein paar Sachen
> > durchgehen, die vlt nicht unbedingt zur Aufgabenstellung
> > gehören, wie die zweite Ableitung der
> > Auflösungsfunktion.
> >
> > zu a)
> >
> > dazu muss ich ja nur zeigen, dass [mm]f_z[/mm] (0,0,0) [mm]\not=[/mm] 0 ist.
> > also [mm]f_z =e^z[/mm] + [mm]e^z[/mm] * z [mm]\not=[/mm] 0 für z= 0
> > => auflösbar in der Umgebung von 0.
> >
>
>
>
>
>
> >
> > zu b)
> >
> > x+y+z-sin(xyz)
> >
> > [mm]f_z[/mm] = 1-0 [mm]\not=[/mm] 0 in (0,0,0) somit eindeutig auflösbar in
> > dieser Umgebung.
> >
> > Ableitungsformel für die Auflösungsfunktion sind:
> >
> > [mm]g_x[/mm] = - [mm]\bruch{f_x (x,y,z)}{f_z(x,y,z)}[/mm] und [mm]g_y[/mm] -
> > [mm]\bruch{f_y (x,y,z)}{f_z(x,y,z)}[/mm]
> >
> > also
> >
> > [mm]g_x[/mm] = [mm]\bruch{1-zycos(xyz)}{1-xycos(xyz)}[/mm] und [mm]g_y[/mm] =
> > [mm]\bruch{1-xzcos(xyz)}{1-xycos(xyz)}[/mm]
> >
>
>
> Hier muss es doch lauten:
>
> [mm]g_x = \bruch{\blue{-}1\blue{+}zycos(xyz)}{1-xycos(xyz)}[/mm]
>
> [mm]g_y = \bruch{\blue{-}1\blue{+}xzcos(xyz)}{1-xycos(xyz)}[/mm]
>
>
> > Anschließend hätte ich eine Frage zur zweiten
> > Ableitungsbildung:
> >
> > mit 2 Variablen gilt ja g'(x) = -
> > [mm]\bruch{f_x(x,y)}{f_y(x,y)},[/mm] y= y(x) = g(x), je nach Buch
> > andre Schreibweise.
> >
> > Dann ist doch g'' gegeben durch
> >
> > - [mm]\bruch{f_{xx}(x,y)}{f_y(x,y)}[/mm] oder? wie sieht die
> > zweite(n) Ableitung(en) bzw die Formel dafür bei 3
> > Variablen aus?
> >
>
>
> Das kannst Du Dir durch zweimaliges implizites
> Differenzieren
> von [mm]f\left( \ x,y\left(x\right) \ \right)=0[/mm] bzw. [mm]f\left( \ x, \ y , z\left(x,y\right) \ \right)=0[/mm]
> herleiten.
>
hmmm...
ich würde sagen, dass, falls meine zweite Ableitung für f(x,g(x)) stimmt, dass eine zweite Ableitung beo f(x,y,g(x,y)) so aussehen müsste, dass es 4 gibt nämlich
- [mm] \bruch{f_{xx}(x,y,z)}{f_z(x,y,z)} [/mm] und das mit - [mm] \bruch{f_{yy}(x,y,z)}{f_z(x,y,z)} [/mm]
- [mm] \bruch{f_{xy}(x,y,z)}{f_z(x,y,z)} [/mm] - [mm] \bruch{f_{yx}(x,y,z)}{f_z(x,y,z)} [/mm]
> > Mfg,
> >
> > Eve
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo EvelynSnowley2311,
> > Hallo EvelynSnowley2311,
> >
> > > a)
> > > zeige, dass die Gleichung [mm]xe^x +ye^y +ze^z[/mm] = 0 in
> einer
> > > Umgebung um 0 eindeutig nach z auflösbar ist.
> > >
> > > b)
> > > warum lässt sich die Gleichung x+y+z-sin(xyz) in
> der
> > > Nähe von (0,0,0) eindeutig nach z auflösen? bestimme die
> > > partiellen Ableitungen der Auflösungsfunktion z = u(x,y).
> > > huhu zusammen,
> > >
> > > ich übe grad dieses Thema ein und möchte ein paar Sachen
> > > durchgehen, die vlt nicht unbedingt zur Aufgabenstellung
> > > gehören, wie die zweite Ableitung der
> > > Auflösungsfunktion.
> > >
> > > zu a)
> > >
> > > dazu muss ich ja nur zeigen, dass [mm]f_z[/mm] (0,0,0) [mm]\not=[/mm] 0 ist.
> > > also [mm]f_z =e^z[/mm] + [mm]e^z[/mm] * z [mm]\not=[/mm] 0 für z= 0
> > > => auflösbar in der Umgebung von 0.
> > >
> >
> >
> >
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> > >
> > > zu b)
> > >
> > > x+y+z-sin(xyz)
> > >
> > > [mm]f_z[/mm] = 1-0 [mm]\not=[/mm] 0 in (0,0,0) somit eindeutig auflösbar in
> > > dieser Umgebung.
> > >
> > > Ableitungsformel für die Auflösungsfunktion sind:
> > >
> > > [mm]g_x[/mm] = - [mm]\bruch{f_x (x,y,z)}{f_z(x,y,z)}[/mm] und [mm]g_y[/mm] -
> > > [mm]\bruch{f_y (x,y,z)}{f_z(x,y,z)}[/mm]
> > >
> > > also
> > >
> > > [mm]g_x[/mm] = [mm]\bruch{1-zycos(xyz)}{1-xycos(xyz)}[/mm] und [mm]g_y[/mm] =
> > > [mm]\bruch{1-xzcos(xyz)}{1-xycos(xyz)}[/mm]
> > >
> >
> >
> > Hier muss es doch lauten:
> >
> > [mm]g_x = \bruch{\blue{-}1\blue{+}zycos(xyz)}{1-xycos(xyz)}[/mm]
>
> >
> > [mm]g_y = \bruch{\blue{-}1\blue{+}xzcos(xyz)}{1-xycos(xyz)}[/mm]
>
> >
> >
> > > Anschließend hätte ich eine Frage zur zweiten
> > > Ableitungsbildung:
> > >
> > > mit 2 Variablen gilt ja g'(x) = -
> > > [mm]\bruch{f_x(x,y)}{f_y(x,y)},[/mm] y= y(x) = g(x), je nach Buch
> > > andre Schreibweise.
> > >
> > > Dann ist doch g'' gegeben durch
> > >
> > > - [mm]\bruch{f_{xx}(x,y)}{f_y(x,y)}[/mm] oder? wie sieht die
> > > zweite(n) Ableitung(en) bzw die Formel dafür bei 3
> > > Variablen aus?
> > >
> >
> >
> > Das kannst Du Dir durch zweimaliges implizites
> > Differenzieren
> > von [mm]f\left( \ x,y\left(x\right) \ \right)=0[/mm] bzw.
> [mm]f\left( \ x, \ y , z\left(x,y\right) \ \right)=0[/mm]
> > herleiten.
> >
> hmmm...
> ich würde sagen, dass, falls meine zweite Ableitung für
Die zweite Ableitung stimmt aber nicht.
Diese sieht so aus:
[mm]g''\left(x\right)=\[\frac{{\left( \frac{d}{d\,x}\,f\right) }^{2}\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{y}^{2}}\,f\right) +\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{x}^{2}}\,f\right) \,{\left( \frac{d}{d\,y}\,f\right) }^{2}-2\,\left( \frac{d}{d\,x}\,f\right) \,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,x\,d\,y}\,f\right) \,\left( \frac{d}{d\,y}\,f\right) }{{\left( \frac{d}{d\,y}\,f\right) }^{3}}\][/mm]
> f(x,g(x)) stimmt, dass eine zweite Ableitung beo
> f(x,y,g(x,y)) so aussehen müsste, dass es 4 gibt nämlich
>
> - [mm]\bruch{f_{xx}(x,y,z)}{f_z(x,y,z)}[/mm] und das mit -
> [mm]\bruch{f_{yy}(x,y,z)}{f_z(x,y,z)}[/mm]
> - [mm]\bruch{f_{xy}(x,y,z)}{f_z(x,y,z)}[/mm] -
> [mm]\bruch{f_{yx}(x,y,z)}{f_z(x,y,z)}[/mm]
>
> > > Mfg,
> > >
> > > Eve
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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> > >
> > > > Anschließend hätte ich eine Frage zur zweiten
> > > > Ableitungsbildung:
> > > >
> > > > mit 2 Variablen gilt ja g'(x) = -
> > > > [mm]\bruch{f_x(x,y)}{f_y(x,y)},[/mm] y= y(x) = g(x), je nach Buch
> > > > andre Schreibweise.
> > > >
> > > > Dann ist doch g'' gegeben durch
> > > >
> > > > - [mm]\bruch{f_{xx}(x,y)}{f_y(x,y)}[/mm] oder? wie sieht die
> > > > zweite(n) Ableitung(en) bzw die Formel dafür bei 3
> > > > Variablen aus?
> > > >
> > >
> > >
> > > Das kannst Du Dir durch zweimaliges implizites
> > > Differenzieren
> > > von [mm]f\left( \ x,y\left(x\right) \ \right)=0[/mm] bzw.
> > [mm]f\left( \ x, \ y , z\left(x,y\right) \ \right)=0[/mm]
> > > herleiten.
> > >
> > hmmm...
> > ich würde sagen, dass, falls meine zweite Ableitung
> für
>
>
> Die zweite Ableitung stimmt aber nicht.
>
> Diese sieht so aus:
>
> [mm]g''\left(x\right)=\[\frac{{\left( \frac{d}{d\,x}\,f\right) }^{2}\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{y}^{2}}\,f\right) +\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{x}^{2}}\,f\right) \,{\left( \frac{d}{d\,y}\,f\right) }^{2}-2\,\left( \frac{d}{d\,x}\,f\right) \,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,x\,d\,y}\,f\right) \,\left( \frac{d}{d\,y}\,f\right) }{{\left( \frac{d}{d\,y}\,f\right) }^{3}}\][/mm]
>
huhu,
sry aber ich bin versch. Wege durchgegangen diese Formel herzuleiten -.- Egal ob mit Quotientenregel oder bin. Formeln, ich weiß nicht wie mans implizit differenziert. Kannst du mir sagen wie du ansetzt? nimmst du die Ableitung
von
g'(x) = - [mm] \bruch{f_x(x,y)}{f_y(x,y)} [/mm] mithilfe der Kettenregel, mit y= g(x) als y' und dann das Quotientenregelum? also
etwa innere und äußere Ableitung:
- [mm] (\bruch{f_x(x,y)}{f_y(x,y)})' [/mm] * [mm] \bruch{f_x(1,y')}{f_y(1,y')} [/mm] ?
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Hallo EvelynSnowley2311,
> > > >
> > > > > Anschließend hätte ich eine Frage zur zweiten
> > > > > Ableitungsbildung:
> > > > >
> > > > > mit 2 Variablen gilt ja g'(x) = -
> > > > > [mm]\bruch{f_x(x,y)}{f_y(x,y)},[/mm] y= y(x) = g(x), je nach Buch
> > > > > andre Schreibweise.
> > > > >
> > > > > Dann ist doch g'' gegeben durch
> > > > >
> > > > > - [mm]\bruch{f_{xx}(x,y)}{f_y(x,y)}[/mm] oder? wie sieht die
> > > > > zweite(n) Ableitung(en) bzw die Formel dafür bei 3
> > > > > Variablen aus?
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Das kannst Du Dir durch zweimaliges implizites
> > > > Differenzieren
> > > > von [mm]f\left( \ x,y\left(x\right) \ \right)=0[/mm] bzw.
> > > [mm]f\left( \ x, \ y , z\left(x,y\right) \ \right)=0[/mm]
> > > > herleiten.
> > > >
> > > hmmm...
> > > ich würde sagen, dass, falls meine zweite Ableitung
> > für
> >
> >
> > Die zweite Ableitung stimmt aber nicht.
> >
> > Diese sieht so aus:
> >
> > [mm]g''\left(x\right)=\[\frac{{\left( \frac{d}{d\,x}\,f\right) }^{2}\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{y}^{2}}\,f\right) +\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{x}^{2}}\,f\right) \,{\left( \frac{d}{d\,y}\,f\right) }^{2}-2\,\left( \frac{d}{d\,x}\,f\right) \,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,x\,d\,y}\,f\right) \,\left( \frac{d}{d\,y}\,f\right) }{{\left( \frac{d}{d\,y}\,f\right) }^{3}}\][/mm]
>
> >
> huhu,
>
> sry aber ich bin versch. Wege durchgegangen diese Formel
> herzuleiten -.- Egal ob mit Quotientenregel oder bin.
> Formeln, ich weiß nicht wie mans implizit differenziert.
Ausgehend von
[mm]f\left(x,\ y\left(x\right) \ \right)=0[/mm]
differenzierst Du nach x:
[mm]f_{x}\left(x,\ y\left(x\right) \ \right)+f_{y}\left(x,\ y\left(x\right) \ \right)*y'\left(x\right)=0[/mm]
Dies wird nun noch einmal nach x differenziert:
[mm]\bruch{d}{dx}\left( \ f_{x}\left(x,\ y\left(x\right) \ \right)+f_{y}\left(x,\ y\left(x\right) \ \right)*y'\left(x\right) \ \right)=0[/mm]
Gemäß der ersten Differentiation nach x is t das:
[mm]f_{x\blue{x}}\left(x,\ y\left(x\right) \ \right)+f_{y\blue{x}}\left(x,\ y\left(x\right) \ \right)*y'\left(x\right)[/mm]
[mm]+\left\green{(} \ f_{y\blue{x}}\left(x,\ y\left(x\right) \ \right) +f_{y\blue{y}}\left(x,\ y\left(x\right) \ \right)*y'\left(x\right) \ \right\green{)} *y'\left(x\right)+f_{y}\left(x,\ y\left(x\right) \ \right)y''\left(x\right)=0[/mm]
> Kannst du mir sagen wie du ansetzt? nimmst du die
> Ableitung
> von
> g'(x) = - [mm]\bruch{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}[/mm] mithilfe der
> Kettenregel, mit y= g(x) als y' und dann das
> Quotientenregelum? also
> etwa innere und äußere Ableitung:
>
> - [mm](\bruch{f_x(x,y)}{f_y(x,y)})'[/mm] *
> [mm]\bruch{f_x(1,y')}{f_y(1,y')}[/mm] ?
Nein.
Zunächst verwendest Du für die Ableitung die Quotientenregel,
wobei dann für die Ableitungen [mm]\bruch{d}{dx}f_{x}\left(x,y\left(x\right)\right)[/mm] und [mm]\bruch{d}{dx}f_{y}\left(x,y\left(x\right)\right)[/mm]
die verallgemeinerte Kettenregel anzuwenden ist.
Gruss
MathePower
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supi danke dir für die Schritte! ;)
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