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| Aufgabe | sei A Matrix ,z.b. 2x2 jacobi -matrix mit zweiten ableitungen (z.b.einer funktion
mit 2 variablen) als einträgen |
ich hab mal eine frage:
jede matrix A ,die als ersten,"nordwestlichsten" eintrag a11=0 hat
ist indefinit,selbst wenn die det A > 0 oder <0 ist.
bei einer jacobi-matrix hätte es demnach zur folge ,dass die funktion keine
extrema besitzt.
ich weiss nicht ,ob es richtig ist und welchen namen diese regel hat,gesetzt,dass sie richtig ist.
kann mir jemand helfen?
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Hiho,
> sei A Matrix ,z.b. 2x2 jacobi -matrix mit zweiten
> ableitungen (z.b.einer funktion
> mit 2 variablen) als einträgen
Also Hesse-Matrix!?
> jede matrix A ,die als ersten,"nordwestlichsten" eintrag
> a11=0 hat
> ist indefinit,selbst wenn die det A > 0 oder <0 ist.
Nein, das stimmt so nicht ganz. Sie ist nicht positiv definit, aber auch nicht negativ definit, das ist richtig. Allerdings kann sie immer noch positiv semidefinit bzw. negativ semidefinit sein. D.h. sie muss nicht zwangsweise indefinit sein!
> bei einer jacobi-matrix hätte es demnach zur folge ,dass
> die funktion keine
> extrema besitzt.
Immer noch Hesse-Matrix 
Und deine Folgerung wäre richtig, wenn die Funktion immer indefinit wäre, ist sie aber nicht (wie ich oben erklärt habe).
Ergo kann es durchaus Extrema geben. Bedenke, dass dies ein Hinreichendes Kriterium ist, d.h. es gilt:
[mm]H(x_0) > 0 \Rightarrow x_0 \text{ Minimum } [/mm]
Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, es gilt aber:
[mm]x_0 \text{ Minimum } \Rightarrow H(x_0) \ge 0[/mm] (also semidefinit)
Noch Fragen? 
Gono.
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beispiel [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
weder positiv definit noch negativ def.
det A= -6
also läge dort ein lokales maximum vor ,ich vermute aber eher ,dass keine aussage gemacht werden kann,obwohl detA [mm] \not= [/mm] 0 ?
ist diese matrix nun doch indefinit,weil ich keine aussage machen kann?
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Hiho,
die Matrix ist indefinit und damit liegt kein Maximum und kein Minimum vor, sondern ein Sattelpunkt.
MfG,
Gono.
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 21:52 Mo 02.07.2007 | | Autor: | pumpernickel |
danke
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