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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Lars_B. |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion die Formel
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(2i-1)(2i+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2n+1} [/mm] |
Habe danach ein wenig gegoogelt, aber bin aus den gefundenen Seite nicht wirklich schlau geworden.
Wie muss man an eine solche Aufgabe rangehen ?
Danke
Gruss
Lars
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Hallo,
also wie dort steht. Per Induktion. Damit hast Du all solchen kram, wie Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung, Induktionsschritt, etc., den Du Dir überlegen musst. Der eigentliche Beweis ist sehr einfach, also versuch es mal einfach selber  und schreibe wenn Du nicht weiter kommst, wo es hapert...
--
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Lars_B. |
1. prüfen ob die Aussage für n=1 gilt..
[mm] \bruch{1}{(2*1-1)(2*1+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*1+1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
2. Induktionsvoraussetzung:
Wie läuft das jetzt mit n+1 ?
Muss ich einfach für i = n+1 einsetzen und prüfen ob [mm] \bruch{n}{2n+1} [/mm] rauskommt ?
Danke
Gruss
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Mo 10.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> 1. prüfen ob die Aussage für n=1 gilt..
>
> [mm]\bruch{1}{(2*1-1)(2*1+1)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2*1+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Induktionsvoraussetzung:
> Wie läuft das jetzt mit n+1 ?
>
> Muss ich einfach für i = n+1 einsetzen und prüfen ob
> [mm]\bruch{n}{2n+1}[/mm] rauskommt ?
nein, die induktionsvorraussetzung ist, dass du die Formel fuer n schon bewiesen hast (du also die Gleichheit verwenden darfst fuer n) und die Induktionsbehauptung, die noch zu zeigen ist, dass dann die Formel auch fuer (n+1) gilt, also :
[mm] $\summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{(2i-1)(2i+1)}=\bruch{n+1}{2*(n+1)+1}$
[/mm]
(dann folgt naemlich aus den Induktionsanfang die Richtigkeit fuer alle nachfolgenden wie beim Domino)
nun ist aber :
[mm] $\summe_{i=1}^{n+1} \bruch{1}{(2i-1)(2i+1)}=\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(2i-1)(2i+1)}+\bruch{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)}$
[/mm]
und auf den ersten Summanden darfst du nun die Induktionsvorraussetzung anwenden (also dass die Formel fuer n schon gilt !) - kommst du damit auf die rechte Seite der Induktionsbehauptung ?
viele Gruesse
DaMenge
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