induktion wurzel ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 So 02.11.2008 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
[mm] \sum_{k=1}^{n} (1/(\wurzel{k}))>2*(\wurzel{n+1}-1) [/mm] |
ich bin jetzt schon im i.S. bis [mm] 2*\wurzel{n+1}-2+1/\wurzel{n+1} [/mm] nach abschätzung gekommen, weiß aber nicht weiter wie ich zu meinem ergebnis abschätzen kann.
Die soll auch bewiesen werden, wenn es nicht direkt ersichtlich ist.
Ist der Ansatz [mm] 1/\wurzel{n+1}>2*\wurzel{n+2}-2*\wurzel{n+1} [/mm] richtig, und muss ich mit Konvergenz oder Grenzwert weitermachen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke.
Gruß,
Peano08
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Mo 03.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
> [mm]\sum_{k=1}^{n} (1/(\wurzel{k}))>2*(\wurzel{n+1}-1)[/mm]
> ich bin
> jetzt schon im i.S. bis [mm]2*\wurzel{n+1}-2+1/\wurzel{n+1}[/mm]
> nach abschätzung gekommen, weiß aber nicht weiter wie ich
> zu meinem ergebnis abschätzen kann.
Wie du auf diese Formel kommst, sehe ich jetzt nicht.
> Ist der Ansatz [mm]1/\wurzel{n+1}>2*\wurzel{n+2}-2*\wurzel{n+1}[/mm]
> richtig, und muss ich mit Konvergenz oder Grenzwert
> weitermachen?
Der Ansatz (für den Induktionsschritt) ist im Prinzip richtig.
Eine Kleinigkeit der Vollständigkeit halber: Da du beim Induktionsanfang bereits ein "echt größer" stehen hast [mm] ($1/\sqrt{1} [/mm] > [mm] 2*(\sqrt{2}-1)$, [/mm] heisst es
[mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}\red{\ge}2*\wurzel{n+2}-2*\wurzel{n+1}[/mm]
Tipp: Multipliziere beide Seiten mit [mm] $\wurzel{n+1}$, [/mm] bringe alle Terme ohne Wurzel auf eine Seite und quadriere!
Viele Grüße
Rainer
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