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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Sa 26.08.2006 | | Autor: | stefy |
| Aufgabe | also hier ist die steffy wieder ich würde gerne wissen ob ihr mir bei diesem thema auch behilflich sein könntet also ich verstehe nicht ganz wie der prof da vorgegangen ist also
( a + b [mm] )^{n + 1} [/mm] = ( a + b [mm] )^{n} [/mm] * ( a + b )
= ( a + b ) [mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i} [/mm] a^
{i} [mm] b^{n - i}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i} a^{i + 1} b^{ n - i} [/mm]
+ [mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i} a^{ i} b^{ n - i + 1}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n + 1 }\vektor{n \\ i - 1 } a^{ i + 1} [/mm] b^
{n - i + 1}
+ [mm] \summe_{i=0}^{n }\vektor{n \\ i } a^{i} b^{n - i + 1}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n }\vektor{n \\ i - 1 } [/mm] + [mm] \vektor{n \\ i} a^{ i}
[/mm]
[mm] b^{ n - i + 1} [/mm] +
[mm] \vektor{n \\ n} [/mm] a{ n + 1} b ^{0} +
[mm] \vektor{n \\ 0} [/mm] a hoch 0 b hoch n + 1
= [mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{n + 1 \\ i} a^{ i} b^{ n + 1 - i} [/mm]
+ [mm] \vektor{n + 1 \\ n + 1 } a^{ n + 1} [/mm] b ^{( n + 1 ) - ( n + 1 )}
+ [mm] \vektor{n + 1 \\ 0} a^{0} b^{n + 1 - 0}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=0}^{n + 1 } \vektor{n + 1 \\ i} a^{ i} b^{ n + 1 - i} [/mm]
also ich versteh nicht :
1. wieso in der dritten zeile a hoch i + 1 steht
2. wieso in der dritten zeile ebenso ein b hoch n - i + 1 steht
3. wieso dann in der darauffolgenden zeile im oberen index n + 1 und im unteren index i = 1 steht und in dieser zeile sind ebenso im koeffizienten die i - 1 aufgetaucht woher ?? ist das ne spezielle methode oder so ??
4. in der zeile danach kommen dann lauter binomialkoeffizienten vor
ich will so gerne verstehen danke eure steffy kisses
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Sa 26.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hi Stefy,
Das ganze ist sehr ungünstig gesetzt. Nutz den Formeleditor und markiere die fraglichen Stellen doch einfach mal. Z.B.: [mm] \overbrace{=}^{1}.
[/mm]
Dann wird dir eher geholfen, weil man nicht mehr raten muss, was genau du meinst.
[mm] a^{b} [/mm] schreibt man "a ^ [mm] \{b\}" [/mm] (ohne Leerzeichen)
[mm] \bruch{a}{b} [/mm] ist in Formelschreibweise [mm] "\backslash [/mm] bruch {a} {b}" (auch ohne Leerzeichen).
Jetzt kannst du mal raten, wie man [mm] \bruch{a^{x}}{b} [/mm] schreibt.
Marius
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Da du dies so schön erklärst, hab ich auch nen Tipp für dich: Wenn du [ code][ /code] benutzt, wird der Text dazwischen vom Formeleditor komplett ignoriert.
[mm] a^b [/mm] schreibt man a^b
[mm] \bruch{a}{b} [/mm] schreibt man \bruch{a}{b}
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Sa 26.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Danke, guter Tipp
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Sa 26.08.2006 | | Autor: | stefy |
hier die steffy weider ich hab ma was gehört irgendwie von transformationsindex oder sowas ich kenn das nicht hängt es vllt damit zu sammen ????????????????
danke eure steffy kiss
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So, ich habs erstmal in eine schönere Form gebracht:
[mm](a + b )^{n + 1} = ( a + b )^{n} * ( a + b )
= ( a + b ) * \summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i} a^{i} b^{n - i}
= \summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i} a^{i + 1} b^{ n - i}+\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i} a^{ i} b^{ n - i + 1}
= \summe_{i=1}^{n + 1 }\vektor{n \\ i - 1 } a^{ i + 1} b^{n - i + 1}+ \summe_{i=0}^{n }\vektor{n \\ i } a^{i} b^{n - i + 1}
= \summe_{i=1}^{n }\vektor{n \\ i - 1 } + \vektor{n \\ i} a^{ i}b^{ n - i + 1} + \vektor{n \\ n} a{ n + 1} b ^{0} +\vektor{n \\ 0} a^0 b^{n + 1}
= \summe_{i=1}^{n} \vektor{n + 1 \\ i} a^{ i} b^{ n + 1 - i} + \vektor{n + 1 \\ n + 1 } a^{ n + 1} b ^{( n + 1 ) - ( n + 1 )} + \vektor{n + 1 \\ 0} a^{0} b^{n + 1 - 0}
= \summe_{i=0}^{n + 1 } \vektor{n + 1 \\ i} a^{ i} b^{ n + 1 - i}
[/mm]
Jetzt zu deinen Fragen:
1&2: Der Summenterm wurde mit (a+b) multipliziert. Also einmal mit a und dann mit b, und beide Summenterme wurden addiert. Dadurch hat der linke ein a mehr, der rechte ein b mehr.
3: Hast du dich da nicht vertippt? Müßte es nicht
$= [mm] \summe_{i=1}^{n + 1 }\vektor{n \\ i - 1 } a^{ \red i } b^{n - i + 1}+ \summe_{i=0}^{n }+\vektor{n \\ i } a^{i} b^{n - i + 1}$
[/mm]
heißen?
Nun, man läßt ab jetzt den Index i nicht mehr von 0...n laufen, sondern von 1...(n+1). Das heißt aber auch, daß in der Formel alle i durch (i-1) ersetzt werden müssen, damit in der Formel der Index stimmt.
Wenn du das machst, steht am a nur noch ein i, und am b ein n-i+1 (Klammern beachten!)
Und nun schau dir mal $= [mm] \summe_{i=1}^{n + 1 }\vektor{n \\ i - 1 } a^{ i } b^{n - i + 1}+ \summe_{i=0}^{n }\vektor{n \\ i } a^{i} b^{n - i + 1}$ [/mm] genau an: Das a und b hat den gleichen Exponenten!
Du kannst also beides zusammenfassen und den BinKoeff. ausklammern:
$ [mm] \summe \red{\left[\vektor{n \\ i - 1 }+\vektor{n \\ i }\right]} [/mm] * [mm] a^{ i } b^{n - i + 1}$ [/mm] (Klammern nicht vergessen!)
Damit das geht, muß das i mit 1 beginnen (von der ersten Summe) und muß mit einem n aufhören (von der zweiten Summe)
Es fehlt also noch der n+1-Term von der ersten Summe und der 0-Term von der zweiten Summe.
Diese beiden Summanden müßen also noch "manuell", außerhalb des Summenzeichens hinzugefügt werden. Sie gehören nicht zum Summenzeichen dazu!
Und jetzt der große Trick: In den Bin.Koeff. und idem Summenzeichen steht ja jetzt nur n drin.
Jetzt solltest du dich ans pascalsche Dreieck erinnern, also das, wo jede Zahl die Summe der beiden über ihr stehenden ist. Das sind ja die Bin Koeffizienten
[mm] \vektor{n \\ i - 1 } [/mm] und [mm] \vektor{n \\ i } [/mm] sind zwei nebeneinander stehende zahlen im pascalschen Dreieck. Zusammen addiert ergeben sie die Zahl eine Zeile darunter: [mm] \vektor{n \\ i - 1 }+\vektor{n \\ i }=\vektor{n+1 \\ i }
[/mm]
So, beim [mm] \vektor{n\\n} [/mm] nutzt man aus, daß die letzte Zahl im Pascalschen Dreieck IMMER 1 ist, auch wenn man ne Zeile weiter geht. DAs ist alles, was da gemacht wurde. ignoriere am besten, was da im Exponenten steht.
Beim letzten Term wurde das gleiche gemacht, allerdings gehts hier um die erste Zahl im Pascalschen Dreieck.
Und damit bist du fertig, denn wenn du genau hinguckst, gibt dir der Summenterm dir die Terme i=1...n und die beiden anderen die Terme i=0 und i=n+1 der Formel [mm] $(a+b)^{n+1}$
[/mm]
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