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huhu,
also ich habe die rekursiv definierte Folge:
[mm] a_0 [/mm] := 1- 1/e , [mm] a_{n} [/mm] := 1- n [mm] \* a_{n-1}
[/mm]
ich soll beweisen dass sie konvergiert und den grenzwert bestimmen.
Ich sollte auch die ersten 20 Glieder per Hand berechnen, dabei fällt auf, dass ab n =5 das Vorzeichen alterniert, also immer + dann - etc.
Ausserdem wächst sie sozusagen sehr schnell von der 0 weg in beide Richtungen, also gerundet
ab n= 5 : 1,85
-10,12
71
-574
usw. Ich wollte erstmal mit Monotonie und Beschränktheit die Konvergenz nachweisen, weil ich echt nicht den grenzwert riechen kann^^ Dabei habe ich
nach Gleichsetzen und ner Abschätzung folgende Gleichung erhalten (Zwischenschritte lasse ich weg weils wirklich nur Umformen ist)
[mm] a_n \le a_{n-1} [/mm] - [mm] a_{n+1}
[/mm]
Meine Frage: ich kannhier wahrscheinlich eben NICHT abschätzen mit
[mm] a_{n-1} [/mm] - [mm] a_{n+1} \le a_{n-1} [/mm] , weil die Folgenglieder alternieren und die Ungleichung evtl. nich erfüllt ist, oder?
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Hallo Evelyn,
> also ich habe die rekursiv definierte Folge:
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> [mm]a_0[/mm] := 1- 1/e , [mm]a_{n}[/mm] := 1- n [mm]\* a_{n-1}[/mm]
>
> ich soll beweisen dass sie konvergiert und den grenzwert
> bestimmen.
Die konvergiert aber gar nicht. Stimmt die Aufgabenstellung so?
> Ich sollte auch die ersten 20 Glieder per Hand berechnen,
> dabei fällt auf, dass ab n =5 das Vorzeichen alterniert,
> also immer + dann - etc.
> Ausserdem wächst sie sozusagen sehr schnell von der 0 weg
> in beide Richtungen, also gerundet
>
> ab n= 5 : 1,85
> -10,12
> 71
> -574
>
>
> usw. Ich wollte erstmal mit Monotonie und Beschränktheit
> die Konvergenz nachweisen, weil ich echt nicht den
> grenzwert riechen kann^^ Dabei habe ich
> nach Gleichsetzen und ner Abschätzung folgende Gleichung
> erhalten (Zwischenschritte lasse ich weg weils wirklich nur
> Umformen ist)
>
> [mm]a_n \le a_{n-1}[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm]
Stimmt doch gar nicht. Setz mal welche von deinen Ergebnissen ein!
> Meine Frage: ich kannhier wahrscheinlich eben NICHT
> abschätzen mit
>
> [mm]a_{n-1}[/mm] - [mm]a_{n+1} \le a_{n-1}[/mm] , weil die Folgenglieder
> alternieren und die Ungleichung evtl. nich erfüllt ist,
> oder?
Erstmal die Aufgabenstellung klären...
Grüße
reverend
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huhu,
glaube ich hatte die Aufgabenstellung richtig. Formal geschrieben:
Zeigen Sie, dass durch die Rekursionsvorschrift
[mm] a_0 [/mm] : 1- [mm] \bruch{1}{e} [/mm]
[mm] a_n [/mm] := 1- n [mm] \* a_{n-1} [/mm] , n [mm] \in \IN
[/mm]
eine konvergente Folge gegeben ist und bestimmen sie den grenzwert.
Als Hinweis dazu gabs noch : Betrachten sie [mm] \bruch{{-1}^n}{n!} \* a_n [/mm] . aber ansonsten wars das.Theoretisch dürfte es ja auch ohne einen Hinweis gehen.
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Hallo nochmal,
hm. Wer lesen kann, ist klar im Vorteil.
> glaube ich hatte die Aufgabenstellung richtig. Formal
> geschrieben:
>
> Zeigen Sie, dass durch die Rekursionsvorschrift
>
> [mm]a_0[/mm] : 1- [mm]\bruch{1}{e}[/mm]
> [mm]a_n[/mm] := 1- n [mm]\* a_{n-1}[/mm] , n [mm]\in \IN[/mm]
> eine konvergente Folge
> gegeben ist und bestimmen sie den grenzwert.
OK, ich hatte statt [mm] a_0 [/mm] hier schon [mm] a_1 [/mm] gelesen, dann wäre die Folge ja schnell divergent. (Das hast Du übrigens offenbar auch; Deine Werte sprechen dafür...)
Trotzdem ist die Folge nicht konvergent. Sie ist hübsch konstruiert - die ersten 16 Folgenglieder deuten an, dass die Folge schön monoton fällt. Aber dann kommt die Überraschung: [mm] a_{17}>a_{16}, [/mm] und ab [mm] a_{18} [/mm] alterniert sie auch noch und der Betrag von [mm] |a_n| [/mm] mit n>16 wächst schnell.
> Als Hinweis dazu gabs noch : Betrachten sie
> [mm]\bruch{{-1}^n}{n!} \* a_n[/mm] . aber ansonsten wars
> das.Theoretisch dürfte es ja auch ohne einen Hinweis
> gehen.
Ja, klar. Erst einmal wäre es ja schön, wenn man eine explizite Formel hätte. Die gibt es so aber leider nicht.
Also musst Du andere Kriterien bemühen. Welche hast Du?
Grüße
reverend
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> Hallo nochmal,
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> hm. Wer lesen kann, ist klar im Vorteil.
>
> > glaube ich hatte die Aufgabenstellung richtig. Formal
> > geschrieben:
> >
> > Zeigen Sie, dass durch die Rekursionsvorschrift
> >
> > [mm]a_0[/mm] : 1- [mm]\bruch{1}{e}[/mm]
> > [mm]a_n[/mm] := 1- n [mm]\* a_{n-1}[/mm] , n [mm]\in \IN[/mm]
> > eine konvergente
> Folge
> > gegeben ist und bestimmen sie den grenzwert.
>
> OK, ich hatte statt [mm]a_0[/mm] hier schon [mm]a_1[/mm] gelesen, dann wäre
> die Folge ja schnell divergent. (Das hast Du übrigens
> offenbar auch; Deine Werte sprechen dafür...)
Ohhhh jaa
>
> Trotzdem ist die Folge nicht konvergent. Sie ist hübsch
> konstruiert - die ersten 16 Folgenglieder deuten an, dass
> die Folge schön monoton fällt. Aber dann kommt die
> Überraschung: [mm]a_{17}>a_{16},[/mm] und ab [mm]a_{18}[/mm] alterniert sie
> auch noch und der Betrag von [mm]|a_n|[/mm] mit n>16 wächst
> schnell.
Aber die Aufgabe ist der Nachweis der Konvergenz ...^^ Ich glaub der Aufgabenstellung mehr als der Wahrheit^^ ich glaube dir aber
> > Als Hinweis dazu gabs noch : Betrachten sie
> > [mm]\bruch{{-1}^n}{n!} \* a_n[/mm] . aber ansonsten wars
> > das.Theoretisch dürfte es ja auch ohne einen Hinweis
> > gehen.
>
> Ja, klar. Erst einmal wäre es ja schön, wenn man eine
> explizite Formel hätte. Die gibt es so aber leider nicht.
> Also musst Du andere Kriterien bemühen. Welche hast Du?
Nun, da es eine rekursiv definierte folge ist fällt für mich das typische n [mm] (=n(\varepsilon) [/mm] finden raus ( schon alleine weil ich ja nicht mal erahnen kann wogegen es konvergiert, vor allem, wenn es das gar nicht tut^^)
Daher dachte ich an mon. Konvergenz, also z.z. Beschränktheit und Monotonie.
Meine Rangehensweise war folgende:
Es gilt: [mm] a_n [/mm] = 1- [mm] na_{n-1} [/mm] und darum gilt auch [mm] a_{n+1} [/mm] = 1- [mm] na_n
[/mm]
dann habe ich gleichgesetzt zu:
1- [mm] na_{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{1- a_{n+1}}{n}
[/mm]
dann müsste auch gelten :
1- (n+1) * [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1- a_{n+2}}{n+1}
[/mm]
das hab ich insgesamt umgeformt zu:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{a_{n+2} + n}{n^2+2n+1}
[/mm]
dann hab ich abgeschätzt zu:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{a_{n+2} + n}{n^2+2n+1} \le a_{n+2}
[/mm]
also
[mm] a_n \le a_{n+2}, [/mm] daher mon steigend. Die obere schranke ist wohl zugleich der Grenzwert, nur auf den Komm ich nun nicht^^ vor alllem wenns den nicht gibt^:)
> Grüße
> reverend
>
>
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jemand vlt ein Hinweis für mich?
Oder jemand der die Meinung vertretet, dass die Folge doch konvergiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 So 21.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
aus
$ [mm] a_n [/mm] $ = 1- $ [mm] na_{n-1} [/mm] $
folgt nicht : und darum gilt auch $ [mm] a_{n+1} [/mm] $ = 1- $ [mm] na_n [/mm] $
sondern [mm] a_{n+1} [/mm] $ = 1- [mm] (n+1)*a_n [/mm] $
nimm an der GW ist [mm] a\ne0
[/mm]
dann gibt es ein n mit [mm] a_{n-1}=a\pm\epsilon
[/mm]
daras [mm] a_n=1-n*a\pm n*\epsilon
[/mm]
für [mm] a\ne [/mm] 0 geht das nicht. aber a=0 geht auch nicht
also kann das nicht konvergieren.
schreib mal ein miniprogramm z,B. mit exel und sieh dir die Folge an.
Gruss leduart
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