induzierte Matrixnorm < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:21 So 07.11.2004 | | Autor: | adonis1981 |
Hallo!
Bin zur Zeit mein Übungsblatt Numerik am bearbeiten & hänge total an einer Aufgabe:
Zeigen Sie, dass durch ||A||=max (i,j=1 bis n) |a(ij)| eine Norm auf [mm] B(R^n,R^n) [/mm] def. wird, welche durch kein paar Normen auf dem [mm] R^n [/mm] induziert wird.
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhlefen?
Wäre Euch sehr dankbar!
MfG
Mario
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 So 07.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mario!
Die Normeigenschaften kriegst du wohl selber hin, oder? Jedenfalls will ich da erst einmal einen Ansatz von dir sehen.
Zum zweiten Teil:
Ich vermute, dass die Aufgabe falsch gestellt ist, denn es wird schwierig (oder sogar unmöglich) zu beweisen, dass es kein Paar von Normen gibt, so dass die angegebene Matrixnorm [mm] $\Vert \cdot \Vert$ [/mm] durch diese Normen induziert wird.
Sollte die Aufgabe dagegen (was ich vermute) lauten, dass es keine Norm gibt, so dass [mm] $\Vert \cdot \Vert$ [/mm] die Operatornorm bezüglich dieser Norm ist, dann könntest du über die Submultiplikativität argumentieren.
Denn eine Operatornorm einer Vektornorm ist immer submultiplikativ, hier aber gilt für
$A= [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
und
$B = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\1 & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
einerseits:
[mm] $\Vert [/mm] A [mm] \cdot [/mm] B [mm] \Vert [/mm] = [mm] \left\Vert \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right\Vert [/mm] = 2 > 1 = [mm] \Vert [/mm] A [mm] \Vert \cdot \Vert [/mm] B [mm] \Vert$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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