infimum und minimum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Mi 18.01.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute ist nur ne ganz kurze Frage, und zwar wo liegt der unterschied zwischen den Infimum und dem Minimum einer Menge?
Könnte man zB bei der Definition von lim inf nicht auch einfach anstatt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} inf({a_k : k \ge n})=: [/mm] lim inf [mm] a_n
[/mm]
sagen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} min({a_k : k \ge n})=: [/mm] lim inf [mm] a_n
[/mm]
gruß ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo AriR!
Das Minimum ist das kleinste Element einer Menge (ein solches muss es aber nicht geben) und das Infimum die größte untere Schranke der Menge.
Beispiel:
Betrachte die Folge:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] + [mm] \frac{1}{n}$.
[/mm]
Dann existiert für kein $n [mm] \in \IN$ [/mm] das Minimum der Menge
[mm] $\{a_k \, : \, k \ge n\}$,
[/mm]
d.h. dein Ausdruck würde gar kein Sinn machen. Das Infimum dagegen existiert und ist gleich $-1$.
Daher gilt:
[mm] $\liminf_{n \to \infty} a_n [/mm] = -1$.
Liebe Grüße
Julius
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