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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Fr 17.10.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | sei A eine nichtleere Menge positiver Zahlen mit infA >0. Sei B = { [mm] \bruch{1}{a}/ a\in [/mm] A}.
Zeige: supB= [mm] \bruch{1}{infA} [/mm] |
die menge A kann ich mir ungefähr vorstellen- und die menge B ist ja ebenfalls größer 0, besitzt sie auch das gleiche infinum?
für den beweis muss ich ja sicher erst zeigen, dass supB überhaupt existiert. wie gehe ich an die sache heran?
vielen dank, bis später
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Fr 17.10.2008 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> sei A eine nichtleere Menge positiver Zahlen mit infA >0.
> Sei B = { [mm]\bruch{1}{a}/ a\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A}.
> Zeige: supB= [mm]\bruch{1}{infA}[/mm]
> die menge A kann ich mir ungefähr vorstellen- und die
> menge B ist ja ebenfalls größer 0, besitzt sie auch das
> gleiche infinum?
Nein. Die Menge A enthält irgendwelche positiven Zahlen, und die Menge B besteht genau aus den Reziproken dieser Zahlen.
Die besonders kleinen Elemente von A besitzen damit natürlich besonders große reziproke Werte.
Gruß Abakus
> für den beweis muss ich ja sicher erst zeigen, dass supB
> überhaupt existiert. wie gehe ich an die sache heran?
>
> vielen dank, bis später
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Fr 17.10.2008 | | Autor: | jura |
ja, ich weiß, dass die reziproke dann sehr groß werden. aber sie können ja genauso klein werden, sich der 0 annähern (für 1/1000 etc) wie habe ich mir also das infB vorzustellen?
aber es geht ja in der aufgabe auch eher um das supB, wie gehe ich nun an den beweis heran?
besten dank
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> ja, ich weiß, dass die reziproke dann sehr groß werden.
> aber sie können ja genauso klein werden, sich der 0
> annähern (für 1/1000 etc) wie habe ich mir also das infB
> vorzustellen?
Hallo,
da man über die Menge A wenig weiß, gibt's über das Infimum von B wenig zu sagen, außer daß es [mm] \ge [/mm] 0 sein muß.
> aber es geht ja in der aufgabe auch eher um das supB, wie
> gehe ich nun an den beweis heran?
Vergegenwärtige Dir zunächst nochmal, was ein Supremum ist.
Zeige dann, daß [mm] \bruch{1}{infA} [/mm] eine obere Schranke von B ist.
Zeige danach, daß es die kleinste obere Schranke ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Fr 17.10.2008 | | Autor: | jura |
so oberflächlich gesehen würde ich sagen "is ja logisch, dass das reziproke der unteren schranke von A die obere schranke von B is, weil ja auch B das reziproke von A ist.." aber wirklich verstanden habe ich es deshalb trotzdem noch nicht--ehrlich gesagt, ich kenne auch noch kein einziges bsp, wie man mit sup und inf rechnet--hat jemand eine gute erklärung/link etc?
besten dank
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> so oberflächlich gesehen würde ich sagen "is ja logisch,
> dass das reziproke der unteren schranke von A die obere
> schranke von B is, weil ja auch B das reziproke von A
> ist.."
Hallo,
ja.
> aber wirklich verstanden habe ich es deshalb
> trotzdem noch nicht--ehrlich gesagt, ich kenne auch noch
> kein einziges bsp, wie man mit sup und inf rechnet
Wesentlich ist, daß Dir die Definition von "Supremum" klar ist.
Lies sie nach, schreib sie auf.
"Supremum" beinhaltet zweierlei:
1. obere Schranke
2. es ist die kleinste aller oberen Schranken
Fürs Infimum analog.
Fang nun an.
Es ist ja vorausgesetzt, daß die Menge A ein Infimum hat. Darum braucht man sich gar keinen Kopf zu machen, das kann man nehmen und verwenden.
Zeige jetzt erstmal, daß [mm] \bruch{1}{infA} [/mm] eine obere Schranke der Menge B ist, daß also jedes Element der Menge B kleinergleich [mm] \bruch{1}{infA} [/mm] ist.
Das ist wirklich nicht schwierig. Mach mal!
Wenn Du das dann hast, kann man drüber nachdenken, warum es keine kleinere obere Schranke gibt.
Hierzu kannst Du annehmen, daß die Menge B eine noch kleinere obere Schranke s hat, daß also auch s< [mm] \bruch{1}{infA} [/mm] eine obere Schranke ist.
Dies kannst Du zum Widerspruch dazu führen, daß infA die größte untere Schranke von A ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Sa 18.10.2008 | | Autor: | jura |
> > so oberflächlich gesehen würde ich sagen "is ja logisch,
> > dass das reziproke der unteren schranke von A die obere
> > schranke von B is, weil ja auch B das reziproke von A
> > ist.."
>
> Hallo,
>
> ja.
>
> > aber wirklich verstanden habe ich es deshalb
> > trotzdem noch nicht--ehrlich gesagt, ich kenne auch noch
> > kein einziges bsp, wie man mit sup und inf rechnet
>
> Wesentlich ist, daß Dir die Definition von "Supremum" klar
> ist.
> Lies sie nach, schreib sie auf.
>
> "Supremum" beinhaltet zweierlei:
>
> 1. obere Schranke
> 2. es ist die kleinste aller oberen Schranken
>
> Fürs Infimum analog.
>
>
> Fang nun an.
>
> Es ist ja vorausgesetzt, daß die Menge A ein Infimum hat.
> Darum braucht man sich gar keinen Kopf zu machen, das kann
> man nehmen und verwenden.
>
> Zeige jetzt erstmal, daß [mm]\bruch{1}{infA}[/mm] eine obere
> Schranke der Menge B ist, daß also jedes Element der Menge
> B kleinergleich [mm]\bruch{1}{infA}[/mm] ist.
> Das ist wirklich nicht schwierig. Mach mal!
wenn A nach unten beschr. dann auch B nach oben. 1/a [mm] \le [/mm] A....B [mm] \le1/infA [/mm]
ich weiß es wirklich nicht!
>
> Wenn Du das dann hast, kann man drüber nachdenken, warum es
> keine kleinere obere Schranke gibt.
> Hierzu kannst Du annehmen, daß die Menge B eine noch
> kleinere obere Schranke s hat, daß also auch s<
> [mm]\bruch{1}{infA}[/mm] eine obere Schranke ist.
> Dies kannst Du zum Widerspruch dazu führen, daß infA die
> größte untere Schranke von A ist.
>
> Gruß v. Angela
>
>
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> > Wesentlich ist, daß Dir die Definition von "Supremum" klar
> > ist.
> > Lies sie nach, schreib sie auf.
> >
> > "Supremum" beinhaltet zweierlei:
> >
> > 1. obere Schranke
> > 2. es ist die kleinste aller oberen Schranken
> >
> > Fürs Infimum analog.
> >
> >
> > Fang nun an.
> >
> > Es ist ja vorausgesetzt, daß die Menge A ein Infimum hat.
> > Darum braucht man sich gar keinen Kopf zu machen, das kann
> > man nehmen und verwenden.
> >
> > Zeige jetzt erstmal, daß [mm]\bruch{1}{infA}[/mm] eine obere
> > Schranke der Menge B ist, daß also jedes Element der Menge
> > B kleinergleich [mm]\bruch{1}{infA}[/mm] ist.
> > Das ist wirklich nicht schwierig. Mach mal!
>
>
> wenn A nach unten beschr. dann auch B nach oben.
Hallo,
ja, das willst Du zeigen.
Du weißt ja schon, daß A durch infA nach unten beschränkt ist.
Was bedeutet das?
Für jedes [mm] a\in [/mm] A gilt: ... (*)
Du möchtest nun etwas zeigen für die Elemente aus B. Welches sind die Elemente aus B? Die reziproken von denen aus A.
Sei nun also [mm] b\in [/mm] B. Dann gibt es ein [mm] a\in [/mm] A mit b=.... . Wegen (*) kannst Du dies abschätzen zu ???
Ich bin mir sicher, daß Du das alles weißt. Du mußt es bloß hinschreiben.
Gruß v. Angela
> 1/a [mm]\le[/mm] A....B [mm]\le1/infA[/mm]
> ich weiß es wirklich nicht!
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> >
> > Wenn Du das dann hast, kann man drüber nachdenken, warum es
> > keine kleinere obere Schranke gibt.
> > Hierzu kannst Du annehmen, daß die Menge B eine noch
> > kleinere obere Schranke s hat, daß also auch s<
> > [mm]\bruch{1}{infA}[/mm] eine obere Schranke ist.
> > Dies kannst Du zum Widerspruch dazu führen, daß infA
> die
> > größte untere Schranke von A ist.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 So 19.10.2008 | | Autor: | jura |
geht klar, herzlichen Dank!
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> geht klar, herzlichen Dank!
Hallo,
damit hast Du dann aber erst "obere Schranke".
Bleibt noch zu zeigen, daß es keine kleinere gib.
Das nur sicherheitshalber, damit Du Dich nicht zu früh zurücklehnst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 So 19.10.2008 | | Autor: | jura |
jaja, hab ich gemacht :) durfte mich schon zurücklehnen!
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