inhom. DGL System 1.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi, Leute, stecke mal wieder von in der Krise. Habe schon alles versucht, aber komme an einer Stelle einfach nicht weiter:
Ich habe versucht mit dem Einsetzungsverfahren daran zugehen.
Habe folgendes inhomogenes DGL System gegeben:
y' = [mm] \pmat{ 3 & -4 \\ 1 & -1 }*y [/mm] + [mm] \pmat{ 1 \\ 1 }*e^{x}
[/mm]
Habe mir dann die Hilfsmatrix gebildet:
[mm] B=\pmat{ e^{x} & -4 \\ e^{x} & -1 }
[/mm]
Die Koeffizienten a und b habe ich folgendermaßen gebildet:
a=-SP(A)= -2
b=det A = 1
Dann habe ich mir die Störfunktion gebildet:
[mm] g_{1}(x)=e^{x};g_{1}'(X)=e^{x}
[/mm]
g [mm] \sim(x)=g_{1}'(X)-det [/mm] B = [mm] -2e^{x}
[/mm]
Die DGL für [mm] y_{1} [/mm] besitzt somit folgende Gestalt:
[mm] y_{1}''-2y_{1}'+y_{1} [/mm] = [mm] -2e^{x}
[/mm]
Habe mir eine charakteristische Lösung der homogenen Gleichung geformt und kam auf [mm] \lambda= [/mm] 1 (doppelt) !!
Ab dann ist bei mir allerdings Schicht.
Wie bekomme ich hier die partielle Lösung heraus?
Mein Ansatz war [mm] y_{1(p)}=Ax^{2}*e^{x}
[/mm]
Habe davon die erste und zweite ABleitung gebildet und das in die inhom. DGL eingesetzt, aber da kam immer wieder Schwachsinn bei heraus.
Jemand ne Idee?
Wäre sehr sehr hilfreich.
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Hallo wolverine,
> Die DGL für [mm]y_{1}[/mm] besitzt somit folgende Gestalt:
>
> [mm]y_{1}''-2y_{1}'+y_{1}[/mm] = [mm]-2e^{x}[/mm]
>
> Habe mir eine charakteristische Lösung der homogenen
> Gleichung geformt und kam auf [mm]\lambda=[/mm] 1 (doppelt) !!
>
> Ab dann ist bei mir allerdings Schicht.
>
> Wie bekomme ich hier die partielle Lösung heraus?
>
> Mein Ansatz war [mm]y_{1(p)}=Ax^{2}*e^{x}[/mm]
> Habe davon die erste und zweite ABleitung gebildet und das
> in die inhom. DGL eingesetzt, aber da kam immer wieder
> Schwachsinn bei heraus.
Da muss Dir ein Fehler unterlaufen sein:
[mm]\begin{gathered}
y\; = \;p(x)\;e^x \hfill \\
y'\; = \;p'\;e^x \; + \;p\;e^x \hfill \\
y''\; = \;p''\;e^x \; + \;2\;p'\;e^x \; + \;p\;e^x \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
eingesetzt in die DGL:
[mm]
p''\;e^x \; + \;2\;p'\;e^x \; + \;p\;e^x \; - \;2\;\left( {p'\;e^x \; + \;p\;e^x } \right)\; + \;p\;e^x \; = \; - 2\;e^x [/mm]
liefert
[mm]\begin{gathered}
2A\;e^x \; = \; - \;2\;e^x \hfill \\
\Rightarrow \;A\; = \; - 1 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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