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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Mi 13.01.2010 | | Autor: | pioneer |
| Aufgabe | | y'' - 4y' + 4y' = [mm] e^{2x} [/mm] / [mm] \wurzel{x + 3} [/mm] für x > 0 |
Hallo!
Ich habe die homogene Lösung für diese Gleichung bereite berechnet:
yh(x) = C1 [mm] *e^{2x} [/mm] +C2 * [mm] e^{2x}.
[/mm]
Allerdings finde ich für meine Störfunktion nun keinen Ansatz für die partikuläre Lösung. Ich habe im Internet nur folgendes gefunden:
S (x) = Pn (x) [mm] e^{\beta*x}
[/mm]
[mm] \beta [/mm] = k1 und k2:
yp = An (x) [mm] e^{x}
[/mm]
[mm] \beta [/mm] = k1 oder k2:
yp = x · An (x) [mm] e^{x}
[/mm]
[mm] \beta [/mm] = k1 = k2:
yp = x2*An (x) [mm] e^{x}
[/mm]
Ich nehme einmal an, dass k1 und k2 in meinem Fall C1 und C2 sind. Die kann ich aber ohne die partikuläre Lösung nicht bestimmen.
Bitte um Hilfe
Vielen Dank im Voraus
pioneer
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Hallo pioneer,
> y'' - 4y' + 4y' = [mm]e^{2x}[/mm] / [mm]\wurzel{x + 3}[/mm] für x > 0
> Hallo!
>
> Ich habe die homogene Lösung für diese Gleichung bereite
> berechnet:
> yh(x) = C1 [mm]*e^{2x}[/mm] +C2 * [mm]e^{2x}.[/mm]
Da 2 eine doppelte Nullstelle des
charakteristischen Polynoms ist,
muß hier die homogene DGL so lauten:
[mm]y'' - 4y' + 4y = 0[/mm]
Dann stimmt die Lösung der homogenen DGL nicht:
[mm]y_{h}(x) = C_{1}*e^{2x} +C_{2}*\red{x}*^{2x}[/mm]
> Allerdings finde ich für meine Störfunktion nun keinen
> Ansatz für die partikuläre Lösung. Ich habe im Internet
> nur folgendes gefunden:
>
> S (x) = Pn (x) [mm]e^{\beta*x}[/mm]
>
> [mm]\beta[/mm] = k1 und k2:
> yp = An (x) [mm]e^{x}[/mm]
> [mm]\beta[/mm] = k1 oder k2:
> yp = x · An (x) [mm]e^{x}[/mm]
> [mm]\beta[/mm] = k1 = k2:
> yp = x2*An (x) [mm]e^{x}[/mm]
>
> Ich nehme einmal an, dass k1 und k2 in meinem Fall C1 und
> C2 sind. Die kann ich aber ohne die partikuläre Lösung
> nicht bestimmen.
Der Ansatz, den Du gefunden ist richtig.
Wähle hier speziell den Ansatz:
[mm]y_{p}\left(x)=p\left(x\right)*e^{2x}[/mm]
Setze diesen in die DGL ein,
und Du bekommst dann [mm]p\left(x\right)[/mm]
> Bitte um Hilfe
>
> Vielen Dank im Voraus
> pioneer
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Mi 13.01.2010 | | Autor: | pioneer |
Hallo MathePower!
Herzlichen Dank für deine Blitzantwort.
> Da 2 eine doppelte Nullstelle des
> charakteristischen Polynoms ist,
> muß hier die homogene DGL so lauten:
>
> [mm]y'' - 4y' + 4y = 0[/mm]
>
> Dann stimmt die Lösung der homogenen DGL nicht:
>
> [mm]y_{h}(x) = C_{1}*e^{2x} +C_{2}*\red{x}*^{2x}[/mm]
>
Danke habe ich in der Hektik übersehen.
> Der Ansatz, den Du gefunden ist richtig.
>
> Wähle hier speziell den Ansatz:
>
> [mm]y_{p}\left(x)=p\left(x\right)*e^{2x}[/mm]
Warum muss ich speziell diesen Ansatz wählen?
Ich werde das nun einmal versuchen einzusetzen. Danke nochmals.
mfg
pioneer
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Hallo pioneer,
> Hallo MathePower!
>
> Herzlichen Dank für deine Blitzantwort.
>
> > Da 2 eine doppelte Nullstelle des
> > charakteristischen Polynoms ist,
> > muß hier die homogene DGL so lauten:
> >
> > [mm]y'' - 4y' + 4y = 0[/mm]
> >
> > Dann stimmt die Lösung der homogenen DGL nicht:
> >
> > [mm]y_{h}(x) = C_{1}*e^{2x} +C_{2}*\red{x}*^{2x}[/mm]
> >
> Danke habe ich in der Hektik übersehen.
>
>
> > Der Ansatz, den Du gefunden ist richtig.
> >
> > Wähle hier speziell den Ansatz:
> >
> > [mm]y_{p}\left(x)=p\left(x\right)*e^{2x}[/mm]
>
> Warum muss ich speziell diesen Ansatz wählen?
Die Störfunktion ist von der Bauart Funktion * [mm]e^{2x}[/mm],
deshalb wählt man hier auch diesen Ansatz.
>
> Ich werde das nun einmal versuchen einzusetzen. Danke
> nochmals.
>
> mfg
> pioneer
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Mi 13.01.2010 | | Autor: | pioneer |
Vielleicht steh ich jetzt auch komplett auf der Leitung aber ich verstehe nicht wie du das mit dem berechnen von p(x) meinst.
Ich habe nun den Ansatz
[mm] y_{p} [/mm] = p(x) * [mm] e^{2x}
[/mm]
zweimal abgeleitet:
[mm] y_{p}' [/mm] = p'(x) * [mm] e^{2x} [/mm] + 2*p(x) * [mm] e^{2x}
[/mm]
[mm] y_{p}'' [/mm] = p''(x) * [mm] e^{2x} [/mm] + 2*p'(x) * [mm] e^{2x} [/mm] + 4p'(x) + [mm] 2e^{2x}
[/mm]
Wenn ich diesen nun in die charakteristische DGL einsetze kann ich aber für p(x) keine Lösung erkennen. Vielleicht bin ich auch ganz auf dem Holzweg und du kannst mir weiterhelfen.
mfg
pioneer
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Hallo pioneer,
> Vielleicht steh ich jetzt auch komplett auf der Leitung
> aber ich verstehe nicht wie du das mit dem berechnen von
> p(x) meinst.
> Ich habe nun den Ansatz
> [mm]y_{p}[/mm] = p(x) * [mm]e^{2x}[/mm]
> zweimal abgeleitet:
> [mm]y_{p}'[/mm] = p'(x) * [mm]e^{2x}[/mm] + 2*p(x) * [mm]e^{2x}[/mm]
> [mm]y_{p}''[/mm] = p''(x) * [mm]e^{2x}[/mm] + 2*p'(x) * [mm]e^{2x}[/mm] + 4p'(x) +
> [mm]2e^{2x}[/mm]
>
> Wenn ich diesen nun in die charakteristische DGL einsetze
> kann ich aber für p(x) keine Lösung erkennen. Vielleicht
> bin ich auch ganz auf dem Holzweg und du kannst mir
> weiterhelfen.
Die zweite Ableitung musst Du nochmal nachrechnen.
Genauer: Ab dem 3. Summanden stimmt's nicht mehr.
>
> mfg
> pioneer
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 13.01.2010 | | Autor: | pioneer |
Wirklich nochmals danke für deine Hilfe.
Hab den Rechenfehler beseitigt, ich weiß aber nun nicht weiter wie ich das p(x) berechnen soll. Mit Koeffizientenvergleich komm ich nicht weiter.
mfg
pioneer
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Hallo pioneer,
> Wirklich nochmals danke für deine Hilfe.
> Hab den Rechenfehler beseitigt, ich weiß aber nun nicht
> weiter wie ich das p(x) berechnen soll. Mit
> Koeffizientenvergleich komm ich nicht weiter.
Nun, einsetzen in die inhomogene DGL.
Welche Gleichung bekommst Du ?
>
> mfg
> pioneer
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Do 14.01.2010 | | Autor: | pioneer |
Danke für deine Hilfe, ich habe es nun, nachdem ich richtig abgeleitet habe, hinbekommen. Es kürzen sich alle anderen Terme weg und es bleibt nur mehr p''(x) über. Das muss ich dann "nur" zweimal integrieren und ich habe die Lösung für mein p(x).
Danke nochmals.
mfg
pioneer
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