inhomogene DGL mit konst. K. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Do 06.07.2006 | | Autor: | ChrisR |
Hallo,
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe Probleme und das bei jeder Aufgabe bei der ich DGl dieser Art lösen muss und zwar:
Bsp.:
y'+y=2 *sin(3x)
allg. Lösung ist ja: [mm] y_{h}=c*e^{-x}
[/mm]
partikuläre Lösung der inhomogenen DGL:
Ansatz: [mm] y_{p}=c_{o}*sin(3x)+c_{1}*cos(3x)
[/mm]
=> [mm] y'_{p}=c_{o}*cos(3x)-c_{1}*sin(3x)
[/mm]
so und nun kommt der Teil wo ich Probleme habe,
Koeffizientenvergleich von sin(3x) und cos(3x) liefert nun zwei Gleichungen:
[mm] c_{o}-3c_{1}=2
[/mm]
[mm] c_{1}+3c_{o}=0
[/mm]
wie kommt der nun darauf. Ich hab keinen Plan, wäre nett wenn mir
das vielleicht jemand mit einfachen Worten näher bring.
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Nun, das EInsetzen des Ansatzes von y und y' in die DGL liefert dir ja
[mm] $3c_{0}\cdot \cos(3x)-3c_{1}\cdot \sin(3x)+c_{0}\cdot \sin(3x)+c_{1}\cdot \cos(3x)=2\sin(3x)$
[/mm]
(du hast in y' den Faktor 3 vergessen!)
[mm] $(3c_{0}+c_{1})\cdot \cos(3x)+(c_{0}-3c_{1})\cdot \sin(3x)=2\sin(3x)$
[/mm]
Wenn das für alle x gelten soll, müßte der cos-Term verschwinden, daher [mm] $3c_{0}+c_{1}=0$
[/mm]
Und dann steht da nur noch:
[mm] $(c_{0}-3c_{1})\cdot \sin(3x)=2\sin(3x)$
[/mm]
ist erfüllt, wenn [mm] $c_{0}-3c_{1}=2$
[/mm]
Die Lösungen [mm] $c_0=\bruch{1}{5} \wedge c_1=-\bruch{3}{5}$ [/mm] mußt du dann nur noch in den Ansatz einsetzen, und natürlich dann noch die homogene Lösung addieren!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Do 06.07.2006 | | Autor: | ChrisR |
Danke für die schnelle und verständliche Antwort,
hat mir sehr geholfen.
Gruß Christian
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