inhomogene lineare DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Mi 23.05.2007 | | Autor: | karlo |
| Aufgabe | y''''+4y'' = x-x³
homogene Gl. yh= c1+c2+c3*cos(2x)+c4*sin(2x) |
Hallo.
Da bei dieser Gleichung ein Resonanzfall vorliegt muss ja der Normalansatz (in diesem Fall {Ax³+Bx²+Cx+D} ) mit [mm] x^k [/mm] multipliziert werden.
Meine Frage lautet nun wie ich auf diesen k-Faktor komme.
MfG
Karlo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Mi 23.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würd das umschreiben mit y''=z damit y''''=Z''
dann hast du die hom. erstmal mit Acos2x+Bsin2x
beim aufintegrieren siehst du dann dass du c1+c2x+c3sin2x+c4cos2x. (c1+c2 macht keinen Sinn, die könntest du zu C zusammenfassen!
Was du mit Resonanzfall meinst versteh ich nicht, z kannst du mit dem Ansastz ohne [mm] x^k [/mm] lösen, dann wieder zu y furch integrieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 Do 24.05.2007 | | Autor: | karlo |
Ein Resonanzfall tritt ein wenn die Nullstellen der homogenen Gleichung komplex sind.
Die Aufgabe war auch nur als Bsp. gedacht- die Frage mit dem [mm] x^k [/mm] war eher grundsätzlich gemeint.
Gruß
Karlo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Do 24.05.2007 | | Autor: | Herby |
Moin Karlo,
wenn sich als Lösung eine Funktion ergibt, die sich beim Ableiten reproduziert [mm] (e^x,sin(x)), [/mm] dann brauchst du keinen Ansatz mit [mm] x^k. [/mm] Sollten für die partikuläre Lösung die Stellen der DGL [mm] a_0=a_1=a_{n-k}=0 [/mm] sein und eine oben genannte Funktion liegt nicht vor, dann musst du mit [mm] x^k [/mm] multiplizieren, in deinem Fall mit [mm] x^2 [/mm] (sonst ist nämlich nach der vierten Ableitung deine Funktion weg  ). Die Substitution z=y'' funktioniert natürlich auch.
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Do 24.05.2007 | | Autor: | karlo |
aber wie komme ich denn auf diese x² bitte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 Do 24.05.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Karlo,
[mm] y^{(4)}+4y''+\underbrace{\red{0}}_{=a_1}*y'+\underbrace{\green{0}}_{=a_0}*y=....
[/mm]
[mm] y_p=\red{x}*\green{x}*(....)=x^2*(....)
[/mm]
ok?
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Do 24.05.2007 | | Autor: | karlo |
vielen Dank Herby !!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Do 24.05.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Karlo,
auch wenn die Aufgabe nur als Bsp. gedacht war - wat haste denn raus?
Es dürfen natürlich auch ALLE Anderen mitrechnen
lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Do 24.05.2007 | | Autor: | karlo |
sorry weis leider nicht wie man das als "Ergebnis" darstellt.
Meiner Rechnung nach dürfte als Endergebnis folgendes herauskommen:
y = yh + ys
= (c1 + c2*x + c3*cos(2x) +c4*sin(2x) ) + ( (5/48)*x³ - [mm] (1/80)x^5)
[/mm]
Gruß
Karlo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Do 24.05.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Karlo,
wenn [mm] y_p=-\bruch{1}{80}x^5+\bruch{5}{48}x^3 [/mm] ist, dann erhalten wir für
[mm] y_p''=-\bruch{1}{4}x^3+\bruch{5}{8}x
[/mm]
[mm] y_p^{(4)}=-\bruch{3}{2}x^3
[/mm]
hier war [mm] \text{\red{mein}} [/mm] Fehler: es muss heißen [mm] y_p^{(4)}=\bruch{3}{2}*x
[/mm]
und somit stimmt diese Lösung
Liebe Grüße
Herby
ps.: wenn du auf die Formeln klickst, dann erscheint in einem neuen Fenster die Notation dazu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Sa 26.05.2007 | | Autor: | karlo |
Ok habe es grade nochmal durchgerechnet und ich komme bei yp auf folgendes: yp = [mm] (1/80)x^5 [/mm] - [mm] (1/48)x^3
[/mm]
habe auch die Probe gemacht und es stimmt (zu 99,9%) ;)
Gruß
Karlo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:04 Di 29.05.2007 | | Autor: | Herby |
Lieber Karlo,
die erste Lösung von dir war völlig korrekt, ich habe meinen Artikel dementsprechend korrigiert, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Liebe Grüße
Herby
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