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| Aufgabe | Berechne die Lösung des inhomogenen AWP!
X'(t)=AX(t)+G(t),
[mm] X(0)=(1,1,1)^T
[/mm]
mit A= [mm] \pmat{ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 }
[/mm]
[mm] G(t)=(e^{2t},0,e^{2t})^T
[/mm]
Hinweis: Variation der Konstanten: Zeigen Sie, dass die Losung die Form
[mm] X(t)=exp(At)X(0)+exp(At)\integral_{}^{t}{exp(-As)G(s)ds} [/mm] hat und berechne den Ausdruck dann explizit. |
Könnt ihr mir Tipps geben wie ich diese Aufgabe lösen kann?
ich habe echt keine Ahnung!!!
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Berechne die Lösung des inhomogenen AWP!
>
> X'(t)=AX(t)+G(t),
> [mm]X(0)=(1,1,1)^T[/mm]
>
> mit A= [mm]\pmat{ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 }[/mm]
>
> [mm]G(t)=(e^{2t},0,e^{2t})^T[/mm]
>
> Hinweis: Variation der Konstanten: Zeigen Sie, dass die
> Losung die Form
> [mm]X(t)=exp(At)X(0)+exp(At)\integral_{}^{t}{exp(-As)G(s)ds}[/mm]
> hat und berechne den Ausdruck dann explizit.
>
> Könnt ihr mir Tipps geben wie ich diese Aufgabe lösen
> kann?
Das homogene DGL-System kann folgendermassen gelöst werden:
Löse zuerst
[mm]x_{2}'\left(t\right)=2*x_{2}\left(t\right)[/mm]
Löse dann
[mm]x_{3}'\left(t\right)=x_{2}\left(t\right)+3*x_{3}\left(t\right)[/mm]
Und zu guter letzt:
[mm]x_{1}'\left(t\right)=2*x_{1}\left(t\right)+x_{3}\left(t\right)[/mm]
, wobei [mm]X\left(t}\right)=\pmat{x_{1}\left(t\right) \\ x_{2}\left(t\right) \\ x_{3}\left(t\right)}[/mm]
Das homogene DGL-System kann auch
über die Besimmung der Eigenwerte gelöst werden.
> ich habe echt keine Ahnung!!!
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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okay, ich verstehe deinen Lösungsweg nicht so ganz. Aber ich versuche es mal über die Eigenwerte und Eigenvektoren, wenn das so auch geht. Darin habe ich etwas mehr Übung ;)
[mm] A=\pmat{ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 }
[/mm]
[mm] det(A-\lambdaE)=\vmat{ 2-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 1 & 3-\lambda }
[/mm]
[mm] =-x^3+7x^2-16x+12
[/mm]
[mm] EW_1: \lambda_1=2
[/mm]
[mm] EV_1: C^1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] EW_2: \lambda_2=3
[/mm]
[mm] EV_2: C^1=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] X(t)=\alpha_1\vektor{1 \\ 0 \\ 0}e^{2t}+\alpha_2\vektor{1 \\ 0 \\ 1}e^{3t}
[/mm]
Stimmt das so?
Mir fällt gerade auf, ich muss noch einen 3.EW und EV ermitteln, kann das sein?
Aber ich soll doch eine inhomogene Lösung bestimmen mit Hilfe von Variation der Konstanten.
Kannst du mir vielleicht Tipps geben wie ich weiter vorgehen kann?
MfG
mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Fr 09.12.2011 | | Autor: | hippias |
> okay, ich verstehe deinen Lösungsweg nicht so ganz. Aber
> ich versuche es mal über die Eigenwerte und Eigenvektoren,
> wenn das so auch geht. Darin habe ich etwas mehr Übung ;)
>
> [mm]A=\pmat{ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 }[/mm]
>
> [mm]det(A-\lambdaE)=\vmat{ 2-\lambda & 0 & 1 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 1 & 3-\lambda }[/mm]
>
> [mm]=-x^3+7x^2-16x+12[/mm]
>
> [mm]EW_1: \lambda_1=2[/mm]
> [mm]EV_1: C^1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]EW_2: \lambda_2=3[/mm]
> [mm]EV_2: C^1=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]X(t)=\alpha_1\vektor{1 \\ 0 \\ 0}e^{2t}+\alpha_2\vektor{1 \\ 0 \\ 1}e^{3t}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Nicht ganz, denn es gibt einen weiteren Eigenvektor zum Eigenwert $2$.
> Mir fällt gerade auf, ich muss noch einen 3.EW und EV
> ermitteln, kann das sein?
>
> Aber ich soll doch eine inhomogene Lösung bestimmen mit
> Hilfe von Variation der Konstanten.
> Kannst du mir vielleicht Tipps geben wie ich weiter
> vorgehen kann?
Bei der Variation der Konstanten behandest Du Deine [mm] $\alpha$'s [/mm] als Funktionen von $t$, setzt diesen Ausdruck in die DGL ein und berechnest die [mm] $\alpha$. [/mm] Jedoch eine Anmerkung: Laut Aufgabenstellung sollst Du die Loesung in ganz bestimmter Gestalt angeben - [mm] $e^{At}\ldots [/mm] $ usw. - es koennte also sein, dass dieser Ansatz ungeeignet ist.
>
> MfG
> mathegirl
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Der zweite Eigenvektor zum Eigenwert 2 muss doch der gleiche sein wie der Eigenvektor zum ersten Eigenwert 2.
Ich komme bei dieser Aufgabe trotzdem nicht weiter.
Ist das wirklich der richtige Lösungsansatz für das inhomogene AWP?
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Der zweite Eigenvektor zum Eigenwert 2 muss doch der
> gleiche sein wie der Eigenvektor zum ersten Eigenwert 2.
>
Nein, dann sind Eigenvektoren linear abhängig.
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe trotzdem nicht weiter.
>
Dann berichte uns, wo es klemmt.
> Ist das wirklich der richtige Lösungsansatz für das
> inhomogene AWP?
>
Ja.
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Es hängt schon daran, dass ich nicht weiß wie ich einen weiteren Eigenvektor zum 2. Eigenwert 2 bestimme. Selbst einige Berechnungsprogramme zeigen mir nur diesen einen Eigenvektor an.
Dann ist das Problem, dass ich nicht weiß wie ich weiter vorgehen kann um auf die gegebene Form aus der Aufgabenstellung zu kommen.
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Es hängt schon daran, dass ich nicht weiß wie ich einen
> weiteren Eigenvektor zum 2. Eigenwert 2 bestimme. Selbst
> einige Berechnungsprogramme zeigen mir nur diesen einen
> Eigenvektor an.
>
Berechne zunächst den [mm] Kern(A-2*I)^2.
[/mm]
Wähle einen Vektor daraus, der nicht im Kern(A-2*I) liegt.
> Dann ist das Problem, dass ich nicht weiß wie ich weiter
> vorgehen kann um auf die gegebene Form aus der
> Aufgabenstellung zu kommen.
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Da ergibt sich aber schon das Problem, dass ich nicht weiß wie ich [mm] Kern(A-2I)^2 [/mm] berechnen kann. Ich muss [mm] \lambda=2 [/mm] einsetzen und wie gehe ich dann vor? Ich stehe echt auf dem Schlauch was die Berechnung des Kerns betrifft.
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Da ergibt sich aber schon das Problem, dass ich nicht weiß
> wie ich [mm]Kern(A-2I)^2[/mm] berechnen kann. Ich muss [mm]\lambda=2[/mm]
> einsetzen und wie gehe ich dann vor? Ich stehe echt auf
> dem Schlauch was die Berechnung des Kerns betrifft.
>
Löse das Gleichungssystem
[mm]\left(A-2I\right)^{2}\vec{v}=\vec{0}[/mm]
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Ja, aber genau daran scheitert es ja. Ich muss die 2 in die Diagonalen für das [mm] \lambda [/mm] einsetzen und dann weiß ich nicht weiter.
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 So 11.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Berechne [mm] $B:=(A-2I)^2$ [/mm] und löse dann das LGS
$ [mm] B\vec{v}=\vec{0} [/mm] $
FRED
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Aber genau das zu Berechnen ist mein Problem, ich weiß nicht wie ich das berechnen kann!
Kannst du mir das vielleicht hierbei erklären, damit ich es bei meinem anderen post selbst hinbekomme?
MfG
mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Aber genau das zu Berechnen ist mein Problem, ich weiß
> nicht wie ich das berechnen kann!
>
> Kannst du mir das vielleicht hierbei erklären, damit ich
> es bei meinem anderen post selbst hinbekomme?
>
Wende den ![[]](/images/popup.gif) Gauss-Algorithmus auf die Matrix
[mm]B=\left(A-2*I\right)^{2}=\left(\pmat{2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3}-2*\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0&0&1} \right)^{2}[/mm]
[mm]=\left(\pmat{2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3}-2*\pmat{
1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0&0&1}*\left(\pmat{2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3}-2*\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0&0&1}[/mm]
an.
> MfG
> mathegirl
Gruss
MathePower
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okay, dann erhalte ich 2 vektoren!
Aber wie komme ich dann mit der allgemeinen lösung dieses gleichungssytstems zu dem was in der aufgabenstellung gefordert ist?
MfG
Mathegirl
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Ich habe jetzt für [mm] \lambda=2 [/mm] die 2 Eigenvektoren:
[mm] C_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] C_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
für [mm] \lambda=3den [/mm] Eigenvektor
[mm] C_3=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Kann ich dann damit die Wronskimatrix aufstellen? Dann das Inverse dazu bilden und die Inverse Matrix mit der Inhomogenität multiplizieren.
Wenn ich dann Integriere erhalte ich eine spezielle Lösung und ich kann dann die allgemeine Löund bilden. Kann ich dann nicht das AWP so berechnen?
Eine andere Idee hab ich leider nicht.
MfG
Mathegirl
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Ich habe jetzt für [mm]\lambda=2[/mm] die 2 Eigenvektoren:
>
> [mm]C_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]C_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
Dieser Vektor muss doch lauten:
[mm]C_2=\vektor{0 \\ \blue{-1} \\ \blue{1}}[/mm]
>
> für [mm]\lambda=3den[/mm] Eigenvektor
>
> [mm]C_3=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Kann ich dann damit die Wronskimatrix aufstellen? Dann das
> Inverse dazu bilden und die Inverse Matrix mit der
> Inhomogenität multiplizieren.
> Wenn ich dann Integriere erhalte ich eine spezielle
> Lösung und ich kann dann die allgemeine Löund bilden.
> Kann ich dann nicht das AWP so berechnen?
>
Ja.
> Eine andere Idee hab ich leider nicht.
>
> MfG
> Mathegirl
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 13.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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