inhomogenes Diff.gleichungssys < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | | Man löse das inhomogene Differenzialgleichungssystem X'(t)=AX(t)+B mit Hilfe der Lösung des homogenen Systems X'(t)=AX(t) unter der Annahme, dass der Vektor B in der Form B = AC geschrieben werden kann. |
Hallo Matheraum,
meine Ansätze gingen nicht über das Umstellen der obigen Gleichungen hinaus.
Das einzige was mir zur Verfügung steht ist im Prinzip der Satz 7.15 auf Seite 152:
![[]](/images/popup.gif) Link zum Buch
Hat jemand einen Ansatz für mich?
Gruß,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
> Man löse das inhomogene Differenzialgleichungssystem
> X'(t)=AX(t)+B mit Hilfe der Lösung des homogenen Systems
> X'(t)=AX(t) unter der Annahme, dass der Vektor B in der
> Form B = AC geschrieben werden kann.
> Hallo Matheraum,
>
> meine Ansätze gingen nicht über das Umstellen der obigen
> Gleichungen hinaus.
>
> Das einzige was mir zur Verfügung steht ist im Prinzip der
> Satz 7.15 auf Seite 152:
>
> Link zum Buch
>
> Hat jemand einen Ansatz für mich?
Die Methode der Variation der Konstanten führt auch hier zum Ziel.
>
> Gruß,
> Rutzel
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
hi mathepower,
danke für deine antwort, leider bringt sie mich hier nicht weiter.
hier mal meine gedanken:
X'(t)=AX(t)+B
mit B = AC
d.h.
X'(t)=AX(t)+AC = A(X(t)+C)
eine homogene diffgleichung sieht so aus: X'(t)=AX(t) X(t) ist eine Vektorwertige Funktion, genauso wie (X(t)+C). Kommt man hier irgendwie weiter?
Mein Problem: Ich kenne zwar das Verfahren, um eine homogene Diffgleichung zu lösen (diagonalisieren, lösung des diagonaliserten Gleichungssystems bestimmen, dann wieder auf die Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems schließen), jedoch könnte ich keine Lösung auf eine Weise notieren, sodass sie mir bei einer allgemeinen Aufgabe wie dieser von Hilfe wäre.
Gruß,
Rutzel
(X(t)+C)
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Hallo Rutzel,
> hi mathepower,
> danke für deine antwort, leider bringt sie mich hier nicht
> weiter.
>
> hier mal meine gedanken:
>
> X'(t)=AX(t)+B
> mit B = AC
>
> d.h.
>
> X'(t)=AX(t)+AC = A(X(t)+C)
>
> eine homogene diffgleichung sieht so aus: X'(t)=AX(t) X(t)
> ist eine Vektorwertige Funktion, genauso wie (X(t)+C).
> Kommt man hier irgendwie weiter?
> Mein Problem: Ich kenne zwar das Verfahren, um eine
> homogene Diffgleichung zu lösen (diagonalisieren, lösung
> des diagonaliserten Gleichungssystems bestimmen, dann
> wieder auf die Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems
> schließen), jedoch könnte ich keine Lösung auf eine Weise
> notieren, sodass sie mir bei einer allgemeinen Aufgabe wie
> dieser von Hilfe wäre.
C ist eine konstante Matrx. Dann definiere doch [mm]Y\left(t\right):=X\left(t)+C[/mm], d.h. [mm]X\left(t\right)=Y\left(t\right)-C[/mm].
>
> Gruß,
> Rutzel
> (X(t)+C)
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
hi, irgendwie scheine ich etwas offensichtliches (?) nicht zu sehen.
wenn gilt X(t)=Y(t)-C
dann habe ich zwar etwas homogenes: X'(t)=AY(t), aber leider keine Differenzialgleichung mehr.
Gruß,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
> hi, irgendwie scheine ich etwas offensichtliches (?) nicht
> zu sehen.
>
> wenn gilt X(t)=Y(t)-C
>
> dann habe ich zwar etwas homogenes: X'(t)=AY(t), aber
> leider keine Differenzialgleichung mehr.
Wir haben [mm]Y\left(t\right)=X\left(t\right)+C[/mm]
Abgeleitet nach t ergibt: [mm]Y'\left(t)=X'\left(t\right)[/mm]
Betrachten wir nun die Ausgangs-DGL:
[mm]X'\left(t\right)=A*X\left(t\right)+B=A*X\left(t\right)+A*C=A*\left(X\left(t\right)+C\right)[/mm]
Nach den gemachten Definitionen können wir setzen:
[mm]X\left(t\right)+C=Y\left(t\right)[/mm]
[mm]X'\left(t\right)=Y'\left(t\right)[/mm]
Damit folgt:
[mm]Y'\left(t\right)=A*Y\left(t\right)[/mm]
So jetzt muss es aber geklingelt haben.
>
> Gruß,
> Rutzel
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Sa 05.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hi Mathepower,
danke für deine Geduld.
Ich fasse nochmal zusammen, und erweitere den kleinen Rest der noch gefehlt hat:
X'(t)=AX(t)+B=AX(t)+AC=A(X(t)+C)
da C const. ist, definieren wir: Y(t) := X(t)+C
Es folgt: X'(t) = Y'(t)
Weiter folgt Y'(t) = AY(t)
wir haben nun eine homogene Diffgleichung vorliegen, kennen also die Lösung:
Y(t) = [mm] P^{-1}\tilde{Y} [/mm] wobei [mm] \tilde{y_i} [/mm] = [mm] c_ie^{\lambda_it} [/mm] und [mm] \tilde{Y}=PYP^{-1} [/mm] hat Diagonalform.
Daraus folgt für die Lösung der inhomogenen Diffgleichung:
[mm] X(t)=Y(t)-C=P^{-1}\tilde{Y}-C
[/mm]
Ist das so ok? (entschuldige meine lange Leitung heute, sitze wohl schon zu lange an diesem Aufgabenblatt)
Gruß,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
> Hi Mathepower,
> danke für deine Geduld.
>
> Ich fasse nochmal zusammen, und erweitere den kleinen Rest
> der noch gefehlt hat:
>
> X'(t)=AX(t)+B=AX(t)+AC=A(X(t)+C)
>
> da C const. ist, definieren wir: Y(t) := X(t)+C
>
> Es folgt: X'(t) = Y'(t)
>
> Weiter folgt Y'(t) = AY(t)
>
> wir haben nun eine homogene Diffgleichung vorliegen, kennen
> also die Lösung:
> Y(t) = [mm]P^{-1}\tilde{Y}[/mm] wobei [mm]\tilde{y_i}[/mm] =
> [mm]c_ie^{\lambda_it}[/mm] und [mm]\tilde{Y}=PYP^{-1}[/mm] hat Diagonalform.
>
> Daraus folgt für die Lösung der inhomogenen Diffgleichung:
>
> [mm]X(t)=Y(t)-C=P^{-1}\tilde{Y}-C[/mm]
>
> Ist das so ok? (entschuldige meine lange Leitung heute,
> sitze wohl schon zu lange an diesem Aufgabenblatt)
Ist ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Zu erwähnen sei noch, daß das System
[mm]X'\left(t\right)=A*X\left(t\right)[/mm]
dieselben Lösung wie das System
[mm]Y'\left(t\right)=A*Y\left(t\right)[/mm]
hat.
Daher kannst auch schreiben:
[mm]X(t)=Y(t)-C=P^{-1}\tilde{X}-C[/mm]
>
> Gruß,
> Rutzel
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 So 06.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
ist es offensichtlich, dass die beiden systeme die gleiche lösung haben?
bzw. habe sie die gleiche lösung weil X'(t) = Y'(t) gilt?
(das war jetzt aber hoffentlich wirklich die allerletze frage ;) )
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Hallo Rutzel,
> ist es offensichtlich, dass die beiden systeme die gleiche
> lösung haben?
Ja, das ist offensichtlich.
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> bzw. habe sie die gleiche lösung weil X'(t) = Y'(t) gilt?
>
>
> (das war jetzt aber hoffentlich wirklich die allerletze
> frage ;) )
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 So 06.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
es tut mir leid, ich versteh es einfach nicht.
es gilt doch
Y(t)=X(t)+C
wie kann dann Y(t)=X(t) sein??
bzw. du sagst [mm] P^{-1}\tilde{X}=P^{-1}\tilde{Y}
[/mm]
aber
Y'(t)=AY(t)
und
X'(t)=AX(t)
sind doch nicht a priori gliech.
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Hallo Rutzel,
> es tut mir leid, ich versteh es einfach nicht.
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> es gilt doch
> Y(t)=X(t)+C
Ja.
>
> wie kann dann Y(t)=X(t) sein??
Gar nicht, das hab ich auch nie gesagt.
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> bzw. du sagst [mm]P^{-1}\tilde{X}=P^{-1}\tilde{Y}[/mm]
>
> aber
> Y'(t)=AY(t)
> und
> X'(t)=AX(t)
>
> sind doch nicht a priori gliech.
Die Lösungen beider Systeme sind dieselben, da die Matrix A dieselbe ist.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 So 06.04.2008 | | Autor: | Rutzel |
oh mann, habe ich mich dämlich angestellt... danke für deine hilfe.
gruß,
rutzel
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