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| Aufgabe | Ist A eine endliche Menge und [mm] f:A\to [/mm] A eine Abbildung, dann sind äquivalent:
a) f ist injektiv
b) f ist surjektiv
c) f ist bijektiv |
So... die Äquivalenz ist ja bewiesen, wenn der Ringschluss [mm] a)\to b)\to c)\to [/mm] a) bewiesen ist.
a) Sei f injektiv,dann existiert eine Abbildung g mit der Eigenschaft g*f=id(M). Weil M gleichzeitig Urbild und Bildraum
ist, gilt dann auch f*g=id(M). Also ist f auch surjektiv.
b)Sei f surjektiv, dann existiert eine Abbildung g mit der Eigenschaft f*g=id(M). Weil Weil M gleichzeitig Urbild und
Bildraum ist, gilt dann auch f*g=id(M).Also ist f bijektiv.
c)Sei f bijektiv, dann ist f auch injektiv q.e.d.
Stimmt das so? Oder müsste das ausführlicher sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Do 12.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo Mathegirl,
so geht das leider nicht.
Wenn in der Mathematik etwas zu beweisen ist, musst du dir zuerst immer klar machen, welche Voraussetzungen gegeben sind.
> Ist A eine endliche Menge und [mm] f:A\to{A} [/mm] eine Abbildung,
Aha, A endliche Menge - das scheint doch wichtig zu sein!
Da mir jetzt doch so langsam die Augen zu fallen, gebe ich dir mal folgenden Link (siehe unten), wobei mir das jetzt ein wenig widerstrebt. Denn dort steht die Lösung zu dieser Aufgabe. Ich hoffe aber, dass du in deinem eigenen Interesse nicht sturr abschreibst, sondern Schritt für Schritt nachvollziehst und bei Bedarf hier nachfragst. Denn ansonsten hat es wenig Sinn...
Also dann... Siehe ![[]](/images/popup.gif) Seite 36.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:21 Do 12.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
Vielen Dank!! :)
Nein, vom Lösung abschreiben kann man es in der Klausur auch nicht! deswegen werde ich morgen (heute) sicher nochmal auf einiges mir missverständliches zurück kommen. aber für mich ist der Tag heute jetzt auch erstmal vorbei!
Gute Nacht!
Mathegirl
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Also ich weiß auch nicht, wie man das zeigen soll.
Ich tue mich mit "zeige, dass" auch immer schwer.
Mein Ansatz:
Wenn ja f: A [mm] \mapsto [/mm] A ist, bedeutet das ja: [mm] f=id_{A}.
[/mm]
Und nach der Aufgabe soll ja:
injektivität (=) surjektivität(=) bijektivität sein
Zur Injektivität:
Wenn f(a1)=f(a2) [mm] \Rightarrow [/mm] a1=a2
weil ja für [mm] f=if_{A} [/mm] gilt: ai [mm] \mapsto [/mm] ai [mm] \forall [/mm] ai [mm] \varepsilon [/mm] A
damit ist doch die Injektivität bewiesen
Für Surjektivität gilt: [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X : f(x)=y
Für die Aufgabe wäre es ja:
[mm] \forall [/mm] ai [mm] \in [/mm] A [mm] \exists [/mm] ai [mm] \in [/mm] A : f(ai)=ai
und das stimmt ja, da f(ai)=ai ist und das ai in der Menge A nur einmal als Element vorkommt für i [mm] \in \IN.
[/mm]
Und da es injektiv und surjektiv ist, ist es bijektiv
Kann man das für die aufgabe aufschreiben oder weist der Beweis Lücken auf? Ich bin noch nicht so geübt in diesen mathematischen Beweisen
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> Also ich weiß auch nicht, wie man das zeigen soll.
> Ich tue mich mit "zeige, dass" auch immer schwer.
> Mein Ansatz:
> Wenn ja f: A [mm]\mapsto[/mm] A ist, bedeutet das ja: [mm]f=id_{A}.[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nein, das hast Du völlig falsch verstanden.
[mm] f:A\to [/mm] A bedeutet, daß f aus der Menge A in die Menge A abbildet,
aber es sagt nicht, daß jedes Element auf sich selbst abgebildet wird.
Beispiel
[mm] f:\{1,2,3\}\to \{1,2,3\}
[/mm]
f(1)=2
f(2)=3
f(3)=2
Du müßt also leider komplett neu überlegen.
Zum Beweis f injektiv ==> f surjektiv:
Da A als endlich vorausgesetzt ist, gibt es ein [mm] n\in \IN [/mm] und paarweise verschiedene Elemente [mm] a_i, [/mm] i=1,2,3,...,n , so daß
[mm] A=\{a_1, a_2, ..., a_n\}.
[/mm]
Du kannst jetzt mal versuchen anzunehmen, daß f injektiv ist, aber nicht surjektiv.
Führe dies dann zu einem Widerspruch.
Was ist, wenn f nicht surjektiv ist?
Und können in diesem Fall [mm] a_1, a_2, [/mm] ..., [mm] a_n [/mm] alle auf verschiedene Elemente von A abgebildet werden?
Gruß v. Angela
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