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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Steini |
| Aufgabe | Es sei f: A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung zwischen zwei Mengen.
(a) Konstruieren Siue eine Menge C, eine surjektive Abbildung g: A [mm] \to [/mm] C und eine injektive Abbildung h: C [mm] \to [/mm] B mit folgender Eingenschaft: Für alle x [mm] \in [/mm] A gilt f(x)=h(g(x)).
(b) Zeigen Sie: f ist injektiv genau dann, wenn es eine Abbildung e: B [mm] \to [/mm] A gibt, die folgender Eigenschaft genügt: Für alle x [mm] \in [/mm] A gild e(f(x))=x
(c) Zeigen Sie: f ist surjektiv genau dann, wenn es eine Abbildung d: B [mm] \to [/mm] A gibt, die folgender Eigenschaft genügt: Für alle y [mm] \in [/mm] B gilt f(d(y))=y |
Hallo,
Danke für die bisherige Hilfe.
Jetzt habe ich noch eine Frage(siehe oben).
(a) Ich habe mir gedacht, dass wenn ich eine Menge konstruieren soll, auf die man eine surjektive Abbildung macht, dann darf diese Menge ja logischerweise nicht größer sein als die Menge A. Wenn ich dann aber auch noch eine injektive Abbildung von C auf B mache, dann darf Sie nicht kleiner sein als B. Kann man die dann einfach C:=B setzen?
Wenn ja, wie mache ich dann weiter?
(b)oder(c) Es wäre nett, wenn ihr zu einer der Aufgaben relativ direkte Tipps geben könntet, so dass ich diese dann versuchen kann bei der anderen selber nachzuvollziehen.
Vielen Dank
Stefan
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> Es sei f: A [mm]\to[/mm] B eine Abbildung zwischen zwei Mengen.
> (a) Konstruieren Siue eine Menge C, eine surjektive
> Abbildung g: A [mm]\to[/mm] C und eine injektive Abbildung h: C [mm]\to[/mm]
> B mit folgender Eingenschaft: Für alle x [mm]\in[/mm] A gilt
> f(x)=h(g(x)).
> (a) Ich habe mir gedacht, dass wenn ich eine Menge
> konstruieren soll, auf die man eine surjektive Abbildung
> macht, dann darf diese Menge ja logischerweise nicht größer
> sein als die Menge A. Wenn ich dann aber auch noch eine
> injektive Abbildung von C auf B mache, dann darf Sie nicht
> kleiner sein als B. Kann man die dann einfach C:=B setzen?
Hallo,
ich fürchte, das wird nicht klappen:
es sind A und B ja mit der Abbildung f vorgegeben - alle völlig frei von irgendwelchen Einschränkungen.
Es könnte also [mm] A:={1,2,3\} [/mm] sein und [mm] B:={a,b,c,d,e\}, [/mm] und dann klappt das mit mit der Surjektivität von g überhaupt nicht gut, wenn Du C:=B setzt.
Da mußt Du noch ein bißchen nachdenken - am besten mit Stift, Papier und kleinen Bildchen...
> (b) Zeigen Sie: f ist injektiv genau dann, wenn es eine
> Abbildung e: B [mm]\to[/mm] A gibt, die folgender Eigenschaft
> genügt: Für alle x [mm]\in[/mm] A gilt e(f(x))=x
> (c) Zeigen Sie: f ist surjektiv genau dann, wenn es eine
> Abbildung d: B [mm]\to[/mm] A gibt, die folgender Eigenschaft
> genügt: Für alle y [mm]\in[/mm] B gilt f(d(y))=y
> (b)oder(c) Es wäre nett, wenn ihr zu einer der Aufgaben
> relativ direkte Tipps geben könntet, so dass ich diese dann
> versuchen kann bei der anderen selber nachzuvollziehen.
ich denke, daß Du auch hieran mit mit Stift, Papier und kleinen Bildchen erstmal selbst herumfrickeln mußt, um herauszufinden, was für Abbildungen das sind.
Einfach so ins Blaue "direkte Tips" zu geben, bringt nix.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Steini |
Hallo,
ich habe schon wirklcih fast alles versucht. Auch mit Bildchen und so habe ich schon gearbeitet.
Ich finde da wirklich nicht mehr viel zu raus. Meine Übungsgruppe, mit der ich die Aufgaben zusammen erledige ist jetzt auch nciht zu erreichen.
Es wäre wirklich nett, wenn ihr ein paar Tipps geben könntet, damit ich aus meiner Sackgasse herauskomme und einen anderen Weg überhaupt erst finden kann.
Vielen Dank
Stefan
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> Hallo,
> ich habe schon wirklcih fast alles versucht. Auch mit
> Bildchen und so habe ich schon gearbeitet.
> Ich finde da wirklich nicht mehr viel zu raus. Meine
> Übungsgruppe, mit der ich die Aufgaben zusammen erledige
> ist jetzt auch nciht zu erreichen.
> Es wäre wirklich nett, wenn ihr ein paar Tipps geben
> könntet, damit ich aus meiner Sackgasse herauskomme und
> einen anderen Weg überhaupt erst finden kann.
Hallo,
nimm für [mm] f:A\to [/mm] B
mal eine Abbildung ohne Besonderheiten, also eine, die weder injektiv noch surjektiv ist.
Z.B. so:
[mm] A:=\{1,2,3\} [/mm] , [mm] B:=\{a,b,c,d\}
[/mm]
f(1):=b
f(2):=b
f(3):=d
Deine Idee, C:=B zu setzen, war ja ein guter Ansatzpunkt - warum's nicht funktioniert, sollte inzwischen klar sein.
Aber wie wär's, wenn Du es mal mit einer gewissen Teilmenge von B versuchst?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Steini |
Hallo und danke für den Tipp.
Ich habe mir jetzt dazu folgendes überlegt:
Seien A,B zwei nicht notwendigerweise endliche Mengen.
Zu diesen Mengen A,B sei f: A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung.
Falls A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset [/mm] sei C := A [mm] \cap [/mm] B
Falls A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] sei C := ???
Jetzt hatte ich mir gedacht, dass ich wenn A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset [/mm] ist, ich alle Elemente, die schon im Durchschnitt sind da lassen kann und alle anderen irgend wie da rein bekommen kann. Ich weiß nur noch nicht wie.
Aber was ist wenn das nicht der Fall ist? Wie kann ich das dann hinbekommen?
Wäre nett, wenn hier vll. ein Hinweis kommen würde wenn das entweder alles totaler Quatsch und Falsch ist oder halt vll. eine Idee wie ich die anderen hinbekommen kann, weil das ist ja quasi genau das Problem von ebend.
Viele Grüße
Stefan
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Hallo,
denk mal in eine andere Richtung:
in der Menge B sind Elemente, die durch die Abbildung f "getroffen" werden und solche, die "leer ausgehen".
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 19.10.2008 | | Autor: | Steini |
Hi und Danke für den Tipp.
Ich habe jetzt folgende Ansätze/Lösungen: Sind die denn so richtig, oder formal wieder nicht so wirklich gelungen bzw. vll. sogar ganz falsch?
a) Konstruiere Menge C:={x [mm] \in [/mm] B | [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] C [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] A mit f(y)=x}
Eine zugehörige surjektive Abbildung g: A [mm] \to [/mm] C ist f(x)
Eine zugehörige injektive Abbildung h: C [mm] \to [/mm] B ist x [mm] \mapsto [/mm] x [h(x)=x]
b) Indirekter Beweis:
[mm] \exists [/mm] a [mm] \not= [/mm] b mit f(a)=f(b)
=> [mm] \neg \exists [/mm] Abbildung [mm] f^{-1}(f(a))=a, [/mm] da [mm] f^{-1}(f(a)==f^{-1}(f(b))=a=b
[/mm]
Nach Vorraussetzung gilt aber a [mm] \not= [/mm] b
Da aber f(x)=h(g(x) existiert gilt:
f(a)=f(b) => a=b
=> injektiv
Kann mkan das so schreiben?
Viele Grüße
Stefan
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Hallo,
ich habe den Eindruck, daß Du (a) jetzt verstanden hast.
> a) Konstruiere Betrachte die
> Menge [mm] C:=\{x \in B | \forall x \inC\exists y \inA mit f(y)=x\}
[/mm]
Ich bin mir sicher, daß Du hier die richtige Menge meinst. Richtig aufgeschrieben wäre sie so: [mm] C:=\{y\in B | es gibt ein x\in A mit f(x)=y\}
[/mm]
> Eine zugehörige surjektive Abbildung g: A [mm]\to[/mm] C ist
> f(x)
Richtig aufgeschrieben:
Betrachte die Abbildung
g: [mm] A\to [/mm] C mit
g(x):=f(x) für alle [mm] x\in [/mm] A
Diese Abbildung ist surjektiv. (Zeigen!!!)
> Eine zugehörige injektive Abbildung h: C [mm]\to[/mm] B ist x
> [mm]\mapsto[/mm] x [h(x)=x]
Betrachte ... mit ...
Diese Abbildung ist injektiv. (zeigen!!!)
Nun mußt Du noch vorrechnen, daß die Abbildungen das geforderte tun, daß also h(g(x))= f(x) ist.
Gruß v. Angela
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> b) Indirekter Beweis:
> [mm]\exists[/mm] a [mm]\not=[/mm] b mit f(a)=f(b)
> => [mm]\neg \exists[/mm] Abbildung [mm]f^{-1}(f(a))=a,[/mm] da
> [mm]f^{-1}(f(a)==f^{-1}(f(b))=a=b[/mm]
> Nach Vorraussetzung gilt aber a [mm]\not=[/mm] b
> Da aber f(x)=h(g(x) existiert gilt:
> f(a)=f(b) => a=b
> => injektiv
>
> Kann mkan das so schreiben?
Hallo,
Du willst doch jetzt Aufgabe (b) bearbeiten, oder?(Das ist ganz ganz wichtig: es ist sinnlos, einen Beweis zu starten, solange die zu beweisende Aussage nicht ganz klar ist.) Die Aussage hat ja zwei Richtungen, das sind???
Ich vermute irgendwie, daß Du mit Aufg. (a) durcheinander gekommen bist, denn das h, welches Du oben verwendest, gibt's ja in Aufgae (b) gar nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 19.10.2008 | | Autor: | Steini |
Hallo.
Ok, erst einmal die Aussage:
[mm] \exists [/mm] injektive Abb. e: B [mm] \to [/mm] A mit [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A gilt e(f(x))=x
(i) [mm] \exists [/mm] injektive Abb. e: B [mm] \to [/mm] A mit x1,x2 [mm] \in [/mm] A
=> [f(x1)=f(x2)=>x1=x2]
aber was kann man jetzt machen?
wie kommt man jetzt auf die nächsten aussagen?
viele grüße
stefan
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> Hallo.
> Ok, erst einmal die Aussage:
Hallo,
ich denke, hier hat Dir der Computer einen Streich gespielt, ich zieh's jetzt mal so zurecht, wie ich meine, daß Du es meinst:
> (i) [mm]\exists[/mm] injektive Abb. e: B [mm]\to[/mm] A mit [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A gilt e(f(x))=x
> => [f(x1)=f(x2)=>x1=x2]
Das ist Teil (i) der Aussage, anschließend ist auch die umgekehrte Richtung zu zeigen, denn in Aussage (b) steht ja "genau dann, wenn".
Voraussetzung: es gibt eine injektive Abbildung [mm] e:B\to [/mm] A mit e(f(x))=x für alle [mm] x\in [/mm] A. (also ist [mm] e\circ [/mm] f= [mm] id_A)
[/mm]
Zu zeigen: f ist injektiv, das heißt: [f(x1)=f(x2)=>x1=x2].
Beweis:
Es seien [mm] x_1, x_2 \in [/mm] A mit
[mm] f(x_1)=f(x_2)
[/mm]
==> ??? (Bring hier nun die Funktion e ins Spiel.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 So 19.10.2008 | | Autor: | Steini |
Hallo,
kann man das dann so machen (beginnend bei f(x1)=f(x2))
=>f(e(x1))=f(e(x2))
=>x1=x2
und dann andersherum (kann man quasi ja auch äquivalenzpfeile setzen oder nicht?
war es das dann schon?
viele grüße
stefan
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> Hallo,
> kann man das dann so machen (beginnend bei f(x1)=f(x2))
>
> =>f(e(x1))=f(e(x2))
Hallo,
wie folgt das? Begründung?
> =>f(e(x1))=f(e(x2))
> =>x1=x2
Wie folgt das? Begründung?.
> und dann andersherum (kann man quasi ja auch äquivalenzpfeile setzen oder nicht?
Ich fürchte: nein.
Schreib mal auf, was für die andere Richtung zu zeigen ist.
Was ist die Voraussetzung? Was soll gefolgert werden?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 So 19.10.2008 | | Autor: | Steini |
Hallo,
kann man den Schritt von:
f(e(x1))=f(e(x2))
=>(f [mm] \circ [/mm] e)(x1)=(f [mm] \circ [/mm] e)(x2)
=>x1=x2 [nach Vorraussetzung]
Aber wie begründet man den Schritt von f(x1)=f(x2)=>f(e(x1))=f(e(x2))?
Warum man keine Äquivalenzpfeile setzen kann verstehe ich aber nicht so recht.
Ich würde das genau so aufschreiben mit analogen Begründungen:
x1=x2
=>e(f(x1)=e(f(x2))
=>f(x1)=f(x2)
Viele Grüße
Stefan
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> Hallo,
> kann man den Schritt von:
> f(e(x1))=f(e(x2))
> =>(f [mm]\circ[/mm] e)(x1)=(f [mm]\circ[/mm] e)(x2)
> =>x1=x2 [nach Vorraussetzung]
Hallo,
nein. die Voraussetzung sagt kein Sterbenswörtchen darüber, was [mm] f\circ [/mm] e ist.
>
> Aber wie begründet man den Schritt von
> f(x1)=f(x2)=>f(e(x1))=f(e(x2))?
Gar nicht. Denn daraus, daß [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] ist, können wir überhaupt nicht schließen, daß [mm] e(x_1)=e(x_2) [/mm] ist.
Das Geheimnis: lies Dir die Voraussetzung richtig(!) durch!
> Warum man keine Äquivalenzpfeile setzen kann verstehe ich
> aber nicht so recht.
Und genau deshalb sagte ich, daß Du mal aufschreiben sollst, was überhaupt zu zeigen ist.
Lies Dir nochmal die Behauptung (b) durch.
Was hast Du bisher (fast) gezeigt.
Was ist noch zu zeigen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 So 19.10.2008 | | Autor: | Mary1986 |
Hallo!
Also ich würde sagen die Behauptung ist f ist injektiv genau dann wenn Für alle x1,x2 element A gilt f(x1)=f(x2) ==> x1=x2
und e:B-->A mit x=e(f(x))
Und den Beweis würde ich anfangen mit e(x2):=x
==> e(f(x1))=e(f(x2))
==> e(f(x1))=x
da f(x1)=x weil f injektiv folgt e(f(x1))=e(x)
==> e(x)=x und da e ebenfalls injektiv folgt e(x)=x also
==> x=x
ist da irgendwas von richtig???
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es geht ja jetzt gerade um die Aussage (b), welche lautet:
(b) f ist injektiv genau dann, wenn es eine Abbildung e: B $ [mm] \to [/mm] $ A gibt, die folgender Eigenschaft genügt: Für alle x $ [mm] \in [/mm] $ A gilt e(f(x))=x
Ein klein bißchen anders - vielleicht deutlicher - aufgeschrieben:
(b) f ist injektiv <==> es gibt eine Abbildung e: B $ [mm] \to [/mm] $ A mit e(f(x))=x für alle [mm] x\in [/mm] A.
In einem der vielen vorhergehenden Posts wurde bereits festgestellt, daß hierfür zwei Aussagen zu zeigen sind, nämlich beide Richtungen "==>" und "<==".
Steini hatte sich entschieden, zuerst "<==" zu zeigen, also die Aussage
(i) Es gibt eine Abbildung e: B $ [mm] \to [/mm] $ A mit e(f(x))=x für alle [mm] x\in [/mm] A ===> f ist injektiv
Wenn einem die schließlich geglückt ist, muß man aber auch noch die andere Richtung beweisen:
(ii) f ist injektiv ==> es gibt eine Abbildung e: B $ [mm] \to [/mm] $ A mit e(f(x))=x für alle [mm] x\in [/mm] A
Das mal vorweg, weil ich glaube, daß es im allgemeinen Getümmel etwas untergegangen ist.
Damit das nicht passiert und man womöglich wesentliche teile der Aufgab vergißt, ist es ganz wichtig, sich solche Sachen klarzumachen und aufzuschreiben (!!!), bevor man beginnt, am Beweis rumzumurksen. Es geht sonst der Überblick allzuschnell verloren.
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Du möchtest jetzt also wie zuvor Steini erstmal die Aussage (i) beweisen.Es gibt eine Abbildung e: B $ [mm] \to [/mm] $ A mit e(f(x))=x für alle [mm] x\in [/mm] A
Voraussetzung: Es gibt eine Abbildung e: B $ [mm] \to [/mm] $ A mit e(f(x))=x für alle [mm] x\in [/mm] A
zu zeigen: f ist injektiv, dh. aus [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] folgt [mm] x_1=x_2
[/mm]
> Also ich würde sagen die Behauptung ist "f ist injektiv "
ist äquivalent zu
" f(x1)=f(x2) ==> x1=x2 " ,
so daß man dieses zeigt.
Beweis:
Es seien [mm] x_1, x_2 \in [/mm] A mit
[mm] f(x_1)=f(x_2)
[/mm]
(Das Ziel ist es nun, unter Verwendung der Voraussetzung hieraus zu folgern, daß [mm] x_1=x_2 [/mm] gilt.)
Wenn die beiden gleich sind, kommt natürlich auch dasselbe Ergebnis heraus, wenn man die Abildung e auf diese beiden Elemente [mm] f(x_1),f(x_2) \in [/mm] B anwendet:
> ==> e(f(x1))=e(f(x2))
Wende nun an, was über [mm] e\circ [/mm] f vorausgesetzt ist.
Es folgt: [mm] x_1=x_2.
[/mm]
Damit ist dann Aussage (i) bewiesen.
Nun muß als nächstes über Aussage (ii) nachdenken.
gruß v. Angela
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