injektiv, surjektiv. < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Gorky |
Hi! Ist funktion f:R [mm] \to [/mm] R, y= [mm] x^{2} [/mm] nicht injektiv aber surjektiv? Und welche funktion weder injektiv noch surjektiv ist? Es wäre gut wenn mir jemand damit helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin Gorky,
diese Frage kannst du dir ganz leicht selber beantworten, wenn genau weißt, was injektiv und surjektiv bedeutet. Das erklär ich dir und du sagst mir dann was es ist. Die meisten Erkärungen von dem Begriff sind ziemliches Fachchinesisch, aber sehr einfach zu verstehen, wenn man weiß, was damit gemeint ist.
injektiv:
Eine Funktion ist injektiv, wenn jedem Element aus der Definitionsmenge ein Element der Bildmenge zugeordnet wird. Aus der Definitionsmenge dürfen nicht 2 auf ein Element der Bildmenge zugeordnet werden.
Bsp:
injektiv
Definitionsmenge {0,1} Bildmenge {a,b,c} f(0)=a und f(1)=b
nicht injektiv: (weil 0 und 1 b zugeordnet wird)
Definitionsmenge {0,1,2} Bildmenge {a,b,c} f(0)=b und f(1)=b f(2)=c
Also frage dich wird bei f(x)=x² jeder reelen Zahlt genau eine andere reele Zahl zugeordnet oder nicht.
surjektiv:
Bei der Surjektivität musst du dich nur fragen, ob jedes Element in der Bildmenge getroffen wird, egal ob von einem Element aus der Definitionsmenge oder mehreren.
Bsp:
surjektiv
Definitionsmenge {0,1} Bildmenge {a,b,c} f(0)=a und f(1)=b f(0)=c
nicht surjektiv (weil weder 0 noch 1 auf c abgebildet wird)
Definitionsmenge {0,1} Bildmenge {a,b,c} f(0)=a und f(1)=b
Hier musst du dich fragen ob bei deiner Funktion, das Ergebnis von x² jede reele zahl trifft egal was du für x einsetzt.
So wenn du das verstanden hast und x² nochmal genau überprüft hast dann beantworten sich ALLE deine Fragen. Außerdem hoffe ich, dass du das jetzt verstanden hast ansonsten guck nochmal in der Mathebank nach da stehts nicht ganz so leicht verständlich aber mit vielen Beispielen erklärt anhand derer ich mir die Definitionen erklärt habe.
Gruß Shaguar
P.S.: Mir ist da wohl ein kleiner Fehler unterlaufen. Jetzt müsste es stimmen.
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Halli Hallo!
Also nochmal zu den Definitionen von Injektivität und Surjektivität!
Eine Funktion f heißt injektiv, wenn für je zwei Elemente aus dem Definitionsbereich gilt:
wenn f(x)=f(y) dann folgt daraus x=y
bzw. wenn x [mm] \not= [/mm] y dann folgt daraus f(x) [mm] \not= [/mm] f(y)
Dies kannst du nun für deine Funktion [mm] f(x)=x^{2} [/mm] überprüfen!
Eine Funktion heißt surjektiv, wenn du für jedes Element y des Wertebereichs ein Element x aus dem Definitionsbereich findest, so das y=f(x)!
Auch dies kannst du für deine Funktion überprüfen!
Ich hoffe du kommst mit den gegebenen Defintionen darauf, ob deine Funktion nun injektiv und/oder surjektiv ist!
Wenn du noch Probleme hast, sag doch einfach wo du hängengeblieben bist und dann helfen wir dir weiter!
Liebe Grüße
Ulrike
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Hallo!
Also, ich glaube, Definitionen hast du jetzt genug bekommen. Ich weiß noch, dass ich anfangs auch Probleme hatte, diese zu verstehen, deshalb möchte ich versuchen, es dir mit ein paar Beispielen zu erklären.
Sei wenn nicht anders angegeben [mm] f:\IR\to\IR
[/mm]
1.) f(x)=x [mm] f:\IR\to\IR
[/mm]
Diese Funktion ist sowohl injektiv (weil keine zwei Elemente auf dasselbe Element abgebildet werden, es wird ja schließlich jedes Element auf sich selber abgebildet, und die Elemente sind ja alle verschieden) als auch surjektiv (alle Elemente von [mm] \IR [/mm] werden getroffen).
2.) f(x)=|x|
Diese Funktion ist weder injektiv (z. B. werden x=1 und x=-1 beide auf 1 abgebildet) noch surjektiv (es wird kein negatives Element getroffen, alle Funktionswerte sind positiv, somit wäre es höchstens auf [mm] \IR\to\IR^+ [/mm] surjektiv)
3.) [mm] f(x)=x^3
[/mm]
Diese Funktion ist injektiv (alle x werden unterschiedlich abgebildet, im Gegensatz zu [mm] f(x)=x^2 [/mm] z. B. auch x=2 und x=-2, nämlich auf 8 und -8!) und surjektiv (im Gegensatz zu [mm] f(x)=x^2 [/mm] bildet sie nämlich sowohl in die positiven als auch in die negativen reellen Zahlen ab).
(Wenn du genau aufgepasst hast, findest du hier drin die Lösung für deine Aufgabe.)
4.) Und noch ein viertes und letztes Beispiel - eine trigonometrische Funktion:
[mm] f(x)=\sin [/mm] x
Diese Funktion ist bestimmt nicht injektiv (da zum Beispiel f(0)=0 und auch [mm] f(\pi)=0, f(2\pi)=0 [/mm] usw.), sie ist aber auch nicht surjektiv, denn sie nimmt nur Werte zwischen -1 und 1 an, und bildet somit nicht nach ganz [mm] \IR [/mm] ab!
Solltest du jetzt noch Fragen haben, gib genau ein Beispiel an und erkläre, was genau du nicht verstehst, warum die Funktion vielleicht nicht injektiv ist , obwohl du dachtest, sie wäre es oder so.
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Fr 05.11.2004 | | Autor: | Gorky |
Habe schon besserr diese Thema verstanden. Dann ist also y= [mm] x^{2} [/mm] weber surjektiv, noch injektiv. Nochmal Danke für Definitionen und Beispiele.
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