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Hallo zusammen. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich habe folgendes Problem mit folgenden Funktionen.
f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \to (x-2)^{3}
[/mm]
g: [mm] [-2,\infty[ \to \IR, [/mm] x [mm] \to x^{2}+4x+7
[/mm]
Was ich nun zur Untersuchung der Injektivität machen würde, ist jeweils das monotonieverhalten zu untersuchen. Also bilde ich jeweils die erste Ableitung.
[mm] f'(x)=3(x-2)^{2}
[/mm]
g'(x)=2x+4
jetzt erkenne ich, dass f'(x) ja nicht negativ werden kann und somit immer [mm] \ge [/mm] 0 ist. Das heißt, dass f(x) ist streng monoton steigend und somit injektiv.
Für g'(x) brauch ich ja eigentlich nur die Stelle x=-2 untersuchen ich erhalte g'(-2)=-4+4=0. Alle weiteren Werte x [mm] \ge [/mm] -2 sind immer [mm] \ge [/mm] 0. Das heißt diese Funktion ist streng monoton steigend und somit injektiv.
Wäre das soweit erstmal richtig? Würde mich über jeden Beitrag und Hilfe freuen. Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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Hallo zusammen. Ich habe mal eine wichtige Frage. Ich soll zunächst folgende Funktionen auf injektivität und surjektivität überprüfen.
f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \to (X-2)^{3}
[/mm]
g: [-2, [mm] \infty[ \to \IR, [/mm] x [mm] \to x^{2}+4x+7
[/mm]
Ich bilde also zunächst für beide Funktionen die erste Ableitung.
[mm] f'(x)=3(x-2)^{2} \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] streng monoton steigend also injektiv
g'(x)=2x+4, g'(-2)=0 das heißt, dass die Funktion in der Intervallgrenze von [-2, [mm] \infty[ \ge [/mm] 0 ist [mm] \Rightarrow [/mm] streng monoton steigend also injektiv.
Könntet ihr mir jetzt zunächst bei der surjektivität helfen, bevor wir die Funktionen umkehren. Meine Ansätze wären dafür eigentlich folgende.
Die Funktion f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \to (X-2)^{3} [/mm] würde ich mit y gleichstellen und nach x auflösen, um zu zeigen, dass ich ein x zuordnen kann.
Die Funktion g: [-2, [mm] \infty[ \to \IR, [/mm] x [mm] \to x^{2}+4x+7 [/mm] würde ich jetzt sagen, dass diese nicht surjektiv ist, da nicht für alle y [mm] \in \IR [/mm] ein x [mm] \in \IR [/mm] existiert. Also z.B. [mm] f^{-1}(0)=\emptyset
[/mm]
Aber das sind wie gesagt nur Ansätze und müssen nicht richtig sein. Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Di 29.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Ich würde es mit ganz anderen Ansätzen versuchen, insbesondere weil
> [mm]f'(x)=3(x-2)^{2} \ge[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] streng monoton steigend
> also injektiv
falsch ist. Dazu bräuchtest du f'(x)>0, sonst könnte die Funktion stückweise konstant sein.
Zeige Injektivität mit der Definition:
f(x)=f(x') [mm] \Rightarrow [/mm] x=x'
also für f in diesem Fall
$(x-2)³=(x'-2)³$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x-2=x'-2$ da [mm] $x\mapsto [/mm] x³$ injektiv ist (warum?)
[mm] $\Rightarrow [/mm] x=x'$ - fertig :)
Surjektivität zeigt man ebenfalls mit der Definition. Im anderen Beitrag hab ich was zum Wertebereich geschrieben. Wende dies an mit [mm] W_f=\IR [/mm]
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das mit f(x)=f(x') find ich gut. Kannst du mir das vielleicht mal für die Funktion [mm] x^2+4x+7 [/mm] bzw. [mm] (x+2)^{2}+3 [/mm] vorrechnen? Oder geht das hier nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Di 29.04.2008 | | Autor: | MacMath |
da steckt kein großer Trick dahinter, man zeigt:
verschiedene x-werte haben verschiedene Bilder, was logisch äquivalent ist zu: "Haben zwei x-Werte das gleiche Bild, sind sie selber gleich"
Da man damit die Injektivität beweist, empfielt es sich, das ganze nur auf injektive Funktionen anzuwenden. Ansonsten stimmt etwas nicht...
Die genannte Parabel ist als Parabel aber nicht injektiv, weil die links und rechts vom Scheitel das gleiche tut. Was tut man dann? Man freut sich!
Ein Gegenbeispiel ist leicht zu finden und reicht als Gegenbeweis zur Injektivität aus. Kannst du mir eins nennen?
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Oh sorry hatte vergessen zu sagen, dass [mm] g:[-2,\infty[ \to \IR, [/mm] x [mm] \to x^2+4x+7 [/mm] ist. Ich hatte hier ebenfalls die erste ABleitung gebildet und dann bewiesen, dass die Funktion g im Intervall von [mm] [-2,\infty[ [/mm] streng monoton steigend ist. Allerdings ebenfalls mit der Vorschrift [mm] \ge [/mm] 0. Und das ist ja beim Beweis der monotonie verkehrt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Di 29.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Ok, dann funktioniert das natürlich.
Ich nehme mir dazu aber die Scheitelpunktdarstellung, die führt schneller zum ziel.
Seien [mm] $x,x'\in D_f:=[-2,\infty[$ [/mm] mit $g(x)=g(x')$
$(x+2)²+3=(x'+2)²+3$
[mm] $\Rightarrow [/mm] (x+2)²=(x'+2)²$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x+2=x'+2$ (Was benutze ich hier?)
[mm] $\Rightarrow [/mm] x=x'$
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na dort müsste ja dann eigentlich x [mm] \to x^{2} [/mm] stehen. Und das ist ja nicht injektiv.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Di 29.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Oh ich nehme an dir ist aufgefallen dass meine Frage "Was benutze ich hier" eine Zeile zu tief gerutscht ist.
Eigentlich benutze ich doch eher die Wurzel oder?^^
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Ja ist klar. Aber was hat das denn damit auf sich, wenn du z.B. schreibst [mm] (x-2)^{3}=(x'-2)^{3} \Rightarrow [/mm] x-2=x'-2, da x [mm] \to x^{3} [/mm] injektiv ist. Hätte ich sowas jetzt nicht auch schreiben müssen? nur halt mit [mm] (x+2)^{2}=(x'+2)^{2} \Rightarrow [/mm] x+2=x'+2, da x [mm] \to x^{2} [/mm] nicht injektiv ist???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Di 29.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Genau dann hätte ich ein Problem.
Richtig ist dass ich mit [mm] $x\mapsto [/mm] x²$ argumentieren muss.
Diese muss für den Schritt injektiv sein.
Unsere Einschränkung des Definitionsbereichs sorgt aber genau dafür, dass
$x+2>0$ gilt, und auf [mm] \IR_+ [/mm] ist die Normalparabel injektiv.
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Okay ich habe leider doch noch eine Funktion gefunden. Aber lass dir ruhig Zeit...
h: [mm] \IR \to [3,\infty[, [/mm] x [mm] \to x^2+4x+7
[/mm]
Diese Funktion ist nicht injektiv, da z.B. gilt f(1)=f(-5)=12
Diese Funktion ist allerdings injektiv, da es zu jedem y [mm] \in [3,\infty[ [/mm] ein x [mm] \in \IR [/mm] gibt, so dass f(x)=y gilt. So würde ich das jetzt machen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Di 29.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Das zweite Injektiv ist ein verkleidetes Surjektiv hoffe ich mal^^
Was du darunter schreibst ist nur die Definition von Surjektiv, du musst zeigen dass das gilt.
Wenn man ganz genau sein möchte wäre sogar am Anfang zu zeigen gewesen dass die Abbildung wohldefiniert ist, also dass
$h(x) [mm] \in [3,\infty) \forall x\in D_f$ [/mm]
Dies ist jedoch fast immer vorrausgesetzt, da die angegebenen Relationen als "Abbildung" bezeichnet werden
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Naja ich hatte das eigentlich so bewiesen mit der surjektivität, dass ich die Umkehrabbildung gebildet hatte diese lautet [mm] y=\wurzel{x-3}-2 [/mm] und daraus hatte ich das dann erkannt. Da ich hier ja jetzt meine Intervallgrenzen [mm] [3,\infty[ [/mm] einsetze, erhalte ich also immer ein [mm] \IR, [/mm] so dass f(x)=y gilt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Di 29.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Vorsicht! Welche Umkehrfunktion?
Nur bijektive Funktionen besitzen so etwas, und die Surjektivität willst du ja erst zeigen. Verwende nicht den Begriff Umkehrfunktion (tue aber im Prinzip fast gleiche):
Zu [mm] $y\in [3,\infty)$ [/mm] definierte [mm] $x=x(y)=\wurzel{x-3}-2\in\IR$
[/mm]
(Du musst begründen dass das Teil echt in [mm] \IR [/mm] liegt, was aber nicht schwer ist da unter der Wurzel mindestens 0 steht.)
Dann gilt h(x)=...rechnen...=y
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Super das war es dann erstmal. Ich danke dir vielmals. Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Di 29.04.2008 | | Autor: | MacMath |
perfektes Timing ;)
gerne wieder!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Di 29.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, dann funktioniert das natürlich.
> Ich nehme mir dazu aber die Scheitelpunktdarstellung, die
> führt schneller zum ziel.
>
> Seien [mm]x,x'\in D_f:=[-2,\infty[[/mm] mit [mm]g(x)=g(x')[/mm]
>
> [mm](x+2)²+3=(x'+2)²+3[/mm]
> [mm]\Rightarrow (x+2)²=(x'+2)²[/mm]
> [mm]\Rightarrow x+2=x'+2[/mm] (Was
> benutze ich hier?)
Du hast geschrieben, Du würdest die Wurzelfunktion benutzen. Natürlich ist das keineswegs falsch. Ich selber würde an der Stelle einfach sagen:
Du benutzt, dass $f: [mm] [0,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] selbst eine injektive Funktion ist.
Oben ist mit den Substitutionen $y:=x+2$, [mm] $y\,'=x\,'+2$ [/mm] wegen $x, [mm] x\,' \in [-2,\infty)$ [/mm] dann $y,y [mm] \,' \in [0,\infty)$, [/mm] oben steht dann [mm] $y^2=(y\,')^2$ [/mm] und wegen der Injektivität von $f$ (mit [mm] $f(x)=x^2$) [/mm] folgt dann [mm] $y=y\,'$.
[/mm]
Ich will das nur so ergänzen, weil Du hier direkt die Umkehrfunktion herangezogen hast. Braucht man aber prinzipiell eigentlich nicht (auch, wenn das der Argumentation nichts abtut; nur, wenn man die Umkehrfunktion zu Rate zieht, benötigt man deren Existenz. Außerdem fehlt bei Dir wenigstens der Hinweis, dass wegen $x, [mm] x\,' \ge [/mm] -2$ hier auch $x+2, [mm] x\,'+2 \ge [/mm] 0$, bzw. es sollte angemerkt werden).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Di 29.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Du hast absolut Recht,
Hättest du noch weiter gelesen wäre dir aufgefallen dass ich das später korrigiert hab, aber ich war mich am fertig machen für VL, daher hab ich das nicht mehr im OP berichtigt.
Ich denke schon dass es "falsch" ist an dieser Stelle die Wurzelfkt anzuwenden, zumindest müsste dies besser begründet werden. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:42 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Du hast absolut Recht,
> Hättest du noch weiter gelesen wäre dir aufgefallen dass
> ich das später korrigiert hab,
hatte ich, aber erst nach dem Absenden meines Beitrages. Das macht aber m.E. nach nix, da es dann hier trotzdem nochmal an passender Stelle erwähnt wird 
> aber ich war mich am fertig
> machen für VL, daher hab ich das nicht mehr im OP
> berichtigt.
> Ich denke schon dass es "falsch" ist an dieser Stelle die
> Wurzelfkt anzuwenden, zumindest müsste dies besser
> begründet werden. :)
Nein, "falsch" kann man das eigentlich nicht nennen. Eher: Du greifst zu Mitteln, die hier wahrscheinlich noch nicht zur Verfügung stehen oder die wahrscheinlich noch nicht benutzt werden sollen. Unter "falsch" verstünde ich, dass Du einen logischen Fehler begehst. Mit Deinem Wissensstand tust Du das aber sicherlich nicht
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Di 29.04.2008 | | Autor: | MacMath |
mit Antwort tiefer im Baum behandelt
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