injektiv,surjektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Guten Abend^^
Ich schaue mir gerade die Definitionen zu injektiv,surjektiv und bijektiv an.
Sei f:X-->Y eine Abbildung.
1.f heißt injektiv wenn [mm] \forall x_{1},x_{2} \in [/mm] X: [mm] f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}
[/mm]
Das ist eigentlich klar, also eine Abbildung ist injektiv,wenn für 2 Elemente einer Menge X gilt, dass wenn sie das gleiche Bild haben,die Elemente auch gleich sind oder?
Warum steht hier dann das Zeichen für alle [mm] \forall [/mm] ?
2.f heißt surjektiv wenn [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y: [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X:f(x)=x
Das habe ich nicht ganz verstanden, heißt das, eine Abbildung ist surjektiv, wenn für alle Elemente der Menge Y gilt,dass es immer ein Element der Menge X gibt, sodass Y auf X abgebildet werden kann?
Wenn ich das verstanden habe,ist bijektiv auch klar.
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Hi Mandy,
> Guten Abend^^
>
> Ich schaue mir gerade die Definitionen zu
> injektiv,surjektiv und bijektiv an.
>
> Sei f:X-->Y eine Abbildung.
>
> 1.f heißt injektiv wenn [mm]\forall x_{1},x_{2} \in[/mm] X:
> [mm]f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}[/mm]
>
> Das ist eigentlich klar, also eine Abbildung ist
> injektiv,wenn für 2 Elemente einer Menge X gilt, dass wenn
> sie das gleiche Bild haben,die Elemente auch gleich sind
> oder?
> Warum steht hier dann das Zeichen für alle [mm]\forall[/mm] ?
Du kannst es auch so schreiben:
$ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X : x [mm] \not= [/mm] x' [mm] \gdw [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] f(x') $
Das heißt doch bloß, dass Injektivität nur gewährleistet ist, wenn verschiedene Elemente der Urbildmenge immer verschiedene Bilder haben. Dass es also nicht irgendwelche Ausnahmen $ x, x'$ gibt, für die
$ x [mm] \not= [/mm] x' $ aber $ f(x) = f(x') $
Eine Dir bekannte Funktion, die nicht injektiv ist: $ f(x) = [mm] x^2 [/mm] $
>
> 2.f heißt surjektiv wenn [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] Y: [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm]
> X:f(x)=x
>
> Das habe ich nicht ganz verstanden, heißt das, eine
> Abbildung ist surjektiv, wenn für alle Elemente der Menge
> Y gilt,dass es immer ein Element der Menge X gibt, sodass Y
> auf X abgebildet werden kann?
Eine Fkt $ f $ ist surjektiv genau dann, wenn jedes Element des Zielbereichs ein Urbild besitzt.
Es gibt durchaus Abbildungen, dessen Zielbereich mindestens ein Element enthält, das kein Urbild besitzt.
Beispiel: $ f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] \ x [mm] \mapsto x^2 [/mm] $
Der Zielbereich ist ganz $ [mm] \IR [/mm] $ aber die Bildmenge besteht lediglich aus allen Quadratzahlen der Urbilder.
>
> Wenn ich das verstanden habe,ist bijektiv auch klar.
Hilft dir das?
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Di 19.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi Mandy,
>
> > Guten Abend^^
> >
> > Ich schaue mir gerade die Definitionen zu
> > injektiv,surjektiv und bijektiv an.
> >
> > Sei f:X-->Y eine Abbildung.
> >
> > 1.f heißt injektiv wenn [mm]\forall x_{1},x_{2} \in[/mm] X:
> > [mm]f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}[/mm]
> >
> > Das ist eigentlich klar, also eine Abbildung ist
> > injektiv,wenn für 2 Elemente einer Menge X gilt, dass wenn
> > sie das gleiche Bild haben,die Elemente auch gleich sind
> > oder?
> > Warum steht hier dann das Zeichen für alle [mm]\forall[/mm] ?
>
>
> Du kannst es auch so schreiben:
>
> [mm]\forall x \in X : x \not= x' \gdw f(x) \not= f(x')[/mm]
>
> Das heißt doch bloß, dass Injektivität nur
> gewährleistet ist, wenn verschiedene Elemente der
> Urbildmenge immer verschiedene Bilder haben. Dass es also
> nicht irgendwelche Ausnahmen [mm]x, x'[/mm] gibt, für die
>
> [mm]x \not= x'[/mm] aber [mm]f(x) = f(x')[/mm]
>
> Eine Dir bekannte Funktion, die nicht injektiv ist: [mm]f(x) = x^2[/mm]
Ok,bis hier hin hab ich es verstanden.
>
> >
> > 2.f heißt surjektiv wenn [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] Y: [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm]
> > X:f(x)=x
> >
> > Das habe ich nicht ganz verstanden, heißt das, eine
> > Abbildung ist surjektiv, wenn für alle Elemente der Menge
> > Y gilt,dass es immer ein Element der Menge X gibt, sodass Y
> > auf X abgebildet werden kann?
>
> Eine Fkt [mm]f[/mm] ist surjektiv genau dann, wenn jedes Element des
> Zielbereichs ein Urbild besitzt.
Was ist denn mit Zielbereich gemeint?
>
> Es gibt durchaus Abbildungen, dessen Zielbereich mindestens
> ein Element enthält, das kein Urbild besitzt.
>
> Beispiel: [mm]f: \IR \to \IR, \ x \mapsto x^2[/mm]
>
> Der Zielbereich ist ganz [mm]\IR[/mm] aber die Bildmenge besteht
> lediglich aus allen Quadratzahlen der Urbilder.
>
> >
> > Wenn ich das verstanden habe,ist bijektiv auch klar.
>
> Hilft dir das?
>
> Grüße
> ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Di 19.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
"Zielbereich" ist die Menge aller Zahlen, in welche die Abbildung ihre Werte bringt.
Beispiel:
[mm]f \ : \ \IR \mapsto \IR^+_0 \ : \ x \ \mapsto \ \wurzel{|x|}[/mm]
Hier ist die Menge der positiven reellen Zahlen (einschließlich Null) [mm] $\IR^+_0$ [/mm] der Zielbereich.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Di 19.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy!
>
>
> "Zielbereich" ist die Menge aller Zahlen, in welche die
> Abbildung ihre Werte bringt.
>
> Beispiel:
>
> [mm]f \ : \ \IR \mapsto \IR^+_0 \ : \ x \ \mapsto \ \wurzel{|x|}[/mm]
>
> Hier ist die Menge der positiven reellen Zahlen
> (einschließlich Null) [mm]\IR^+_0[/mm] der Zielbereich.
Ok,das mit dem Zielbereich ist jetzt klar,aber ich verstehe diese Schreibweise nicht ganz [mm]f \ : \ \IR \mapsto \IR^+_0 \ : \ x \ \mapsto \ \wurzel{|x|}[/mm]
Das erste ist die Abbildung aber was bedeutet denn x \ [mm] \mapsto [/mm] \ [mm] \wurzel{|x|} [/mm] hier ?
>
> Gruß
> Loddar
>
>
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Hallo.
Ich möchte mal versuchen, dass zu erklären, wenn es ok ist.
Jedoch sei gesagt, dass ich weder ein Mathe-Student, noch ein Mathe-Ass bin, sodass meine Aussage auch falsch sein kann.
Ich habe es so verstanden, dass eine Menge hier [mm] \IR [/mm] auf [mm] \IR^+_0 [/mm] abbgebildet wird. Diese Abbildung wird als f bezeichnet.
Genauer definiert ist diese Abbildung durch x [mm] \mapsto \wurzel{|x|} [/mm] ist.
Wobei x [mm] \in \IR [/mm] und [mm] \wurzel{|x|} \in \IR^+_0 [/mm] .
Das heißt also, dass jedes Element x auf f(x) abgebildet wird (hier definiert durch [mm] \wurzel{|x|}), [/mm] sodass die Wertemenge [mm] \IR^+_0 [/mm] ist.
Denn wir wissen, dass die "gerade" Wurzel einer negativen Zahl für reele Zahlen undefiniert ist.
Deshalb steht unter der Wurzel |x|, weswegen der Werteberech nur [mm] \IR^+_0 [/mm] sein kann.
Ich hoffe ich konnte es einigermaßen veranschaulichen.
Ps: Dürfen Anfänger überhaupt auf Fragen antworten?
Ich sehe hier nämlich meist nur Leute mit tausenden von Sternchen, die Antworten auf Fragen geben und dies sind meist Mathe-Studenten, Doktoranden etc. Ich bin etwas verunsichert^^.
Falls nicht, so entschuldigt bitte diesen Post und ignoriert ihn.
Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Di 19.10.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hi Masseltof,
> Hallo.
>
> Ich möchte mal versuchen, dass zu erklären, wenn es ok
> ist.
> Jedoch sei gesagt, dass ich weder ein Mathe-Student, noch
> ein Mathe-Ass bin, sodass meine Aussage auch falsch sein
> kann.
>
> Ich habe es so verstanden, dass eine Menge hier [mm]\IR[/mm] auf
> [mm]\IR^+_0[/mm] abbgebildet wird. Diese Abbildung wird als f
> bezeichnet.
> Genauer definiert ist diese Abbildung durch x [mm]\mapsto \wurzel{|x|}[/mm]
> ist.
> Wobei x [mm]\in \IR[/mm] und [mm]\wurzel{|x|} \in \IR^+_0[/mm] .
>
> Das heißt also, dass jedes Element x auf f(x) abgebildet
> wird (hier definiert durch [mm]\wurzel{|x|}),[/mm] sodass die
> Wertemenge [mm]\IR^+_0[/mm] ist.
> Denn wir wissen, dass die "gerade" Wurzel einer negativen
> Zahl für reele Zahlen undefiniert ist.
> Deshalb steht unter der Wurzel |x|, weswegen der
> Werteberech nur [mm]\IR^+_0[/mm] sein kann.
>
> Ich hoffe ich konnte es einigermaßen veranschaulichen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ps: Dürfen Anfänger überhaupt auf Fragen antworten?
> Ich sehe hier nämlich meist nur Leute mit tausenden von
> Sternchen, die Antworten auf Fragen geben und dies sind
> meist Mathe-Studenten, Doktoranden etc. Ich bin etwas
> verunsichert^^.
> Falls nicht, so entschuldigt bitte diesen Post und
> ignoriert ihn.
Was denkst du denn, wo die Sterne alle herkommen? 
Jeder, der sich hier beteiligt, hilft sich und allen anderen Helfenden und Hilfesuchenden in jeder Hinsicht.
Wenn sich mal fehler einschleichen, oder man einfach auf dem falschen Pfad ist, wird das von anderen schon ausgebügelt. Das passiert allen mal.
>
>
> Lg
>
Tolle Erklärung!
Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Di 19.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
ChopSuey hat recht.Das hast du wirklich gut erklärt und ich habs auch verstanden.
Vielen Dank =)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Di 19.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Hi Mandy,
> >
> > > Guten Abend^^
> > >
> > > Ich schaue mir gerade die Definitionen zu
> > > injektiv,surjektiv und bijektiv an.
> > >
> > > Sei f:X-->Y eine Abbildung.
> > >
> > > 1.f heißt injektiv wenn [mm]\forall x_{1},x_{2} \in[/mm] X:
> > > [mm]f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}[/mm]
> > >
> > > Das ist eigentlich klar, also eine Abbildung ist
> > > injektiv,wenn für 2 Elemente einer Menge X gilt, dass wenn
> > > sie das gleiche Bild haben,die Elemente auch gleich sind
> > > oder?
> > > Warum steht hier dann das Zeichen für alle [mm]\forall[/mm]
> ?
> >
> >
> > Du kannst es auch so schreiben:
> >
> > [mm]\forall x \in X : x \not= x' \gdw f(x) \not= f(x')[/mm]
> >
> > Das heißt doch bloß, dass Injektivität nur
> > gewährleistet ist, wenn verschiedene Elemente der
> > Urbildmenge immer verschiedene Bilder haben. Dass es also
> > nicht irgendwelche Ausnahmen [mm]x, x'[/mm] gibt, für die
> >
> > [mm]x \not= x'[/mm] aber [mm]f(x) = f(x')[/mm]
> >
> > Eine Dir bekannte Funktion, die nicht injektiv ist: [mm]f(x) = x^2[/mm]
>
> Ok,bis hier hin hab ich es verstanden.
> >
> > >
> > > 2.f heißt surjektiv wenn [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] Y: [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm]
> > > X:f(x)=x
> > >
> > > Das habe ich nicht ganz verstanden, heißt das, eine
> > > Abbildung ist surjektiv, wenn für alle Elemente der Menge
> > > Y gilt,dass es immer ein Element der Menge X gibt, sodass Y
> > > auf X abgebildet werden kann?
> >
> > Eine Fkt [mm]f[/mm] ist surjektiv genau dann, wenn jedes Element des
> > Zielbereichs ein Urbild besitzt.
> Was ist denn mit Zielbereich gemeint?
> >
> > Es gibt durchaus Abbildungen, dessen Zielbereich mindestens
> > ein Element enthält, das kein Urbild besitzt.
> >
> > Beispiel: [mm]f: \IR \to \IR, \ x \mapsto x^2[/mm]
> >
> > Der Zielbereich ist ganz [mm]\IR[/mm] aber die Bildmenge besteht
> > lediglich aus allen Quadratzahlen der Urbilder.
Ich glaube ich habs verstanden.Also weil hier immer nur Quadratzaheln rauskommen,ist die Funktion nicht surjektiv. Wenn in der Bildmenge alle reellen Zahlen,also auch 1,3,5 usw. irgendwann rauskommen würden, wäre die Funktion surjektiv?
So richtig?
> >
> > >
> > > Wenn ich das verstanden habe,ist bijektiv auch klar.
> >
> > Hilft dir das?
> >
> > Grüße
> > ChopSuey
>
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Hallo Mandy,
> > > Beispiel: [mm]f: \IR \to \IR, \ x \mapsto x^2[/mm]
> > >
> > > Der Zielbereich ist ganz [mm]\IR[/mm] aber die Bildmenge besteht
> > > lediglich aus allen Quadratzahlen der Urbilder.
>
> Ich glaube ich habs verstanden.Also weil hier immer nur
> Quadratzaheln rauskommen,ist die Funktion nicht surjektiv.
> Wenn in der Bildmenge alle reellen Zahlen,also auch 1,3,5
> usw. irgendwann rauskommen würden, wäre die Funktion
> surjektiv?
Naja, es ist aber doch [mm]1^2=1, \sqrt{3}^2=3, \sqrt{5}^2=5[/mm]
Zu allen nicht-negativen Zahlen aus dem Zielbereich gibt es schon ein Urbild, aber was ist mit den negativen Zahlen?
Welches [mm]x\in\IR[/mm] wird etwa auf [mm]-4[/mm] abgebildet?
> So richtig?
Nicht ganz, im Ergebnis aber schon --> nicht surjektiv
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Di 19.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> > > > Beispiel: [mm]f: \IR \to \IR, \ x \mapsto x^2[/mm]
> > > >
> > > > Der Zielbereich ist ganz [mm]\IR[/mm] aber die Bildmenge besteht
> > > > lediglich aus allen Quadratzahlen der Urbilder.
> >
> > Ich glaube ich habs verstanden.Also weil hier immer nur
> > Quadratzaheln rauskommen,ist die Funktion nicht surjektiv.
> > Wenn in der Bildmenge alle reellen Zahlen,also auch 1,3,5
> > usw. irgendwann rauskommen würden, wäre die Funktion
> > surjektiv?
>
> Naja, es ist aber doch [mm]1^2=1, \sqrt{3}^2=3, \sqrt{5}^2=5[/mm]
>
> Zu allen nicht-negativen Zahlen aus dem Zielbereich gibt es
> schon ein Urbild, aber was ist mit den negativen Zahlen?
>
> Welches [mm]x\in\IR[/mm] wird etwa auf [mm]-4[/mm] abgebildet?
Auf -4 wird doch 16 abgebildet.Also ist es nicht surjektiv,weil zu den rellen Zahlen auch die negativen Zahlen gehören,aber weil wir hier ein Quadrat haben,können die nie rauskommen,also nie das Bild sein ?
>
> > So richtig?
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> Nicht ganz, im Ergebnis aber schon --> nicht surjektiv
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
> > Hallo Mandy,
> >
> > > > > Beispiel: [mm]f: \IR \to \IR, \ x \mapsto x^2[/mm]
> > > > >
> > > > > Der Zielbereich ist ganz [mm]\IR[/mm] aber die Bildmenge besteht
> > > > > lediglich aus allen Quadratzahlen der Urbilder.
> > >
> > > Ich glaube ich habs verstanden.Also weil hier immer nur
> > > Quadratzaheln rauskommen,ist die Funktion nicht surjektiv.
> > > Wenn in der Bildmenge alle reellen Zahlen,also auch 1,3,5
> > > usw. irgendwann rauskommen würden, wäre die Funktion
> > > surjektiv?
> >
> > Naja, es ist aber doch [mm]1^2=1, \sqrt{3}^2=3, \sqrt{5}^2=5[/mm]
>
> >
> > Zu allen nicht-negativen Zahlen aus dem Zielbereich gibt es
> > schon ein Urbild, aber was ist mit den negativen Zahlen?
> >
> > Welches [mm]x\in\IR[/mm] wird etwa auf [mm]-4[/mm] abgebildet?
>
> Auf -4 wird doch 16 abgebildet.
[hae] [mm] $16\mapsto 16^2\neq [/mm] -4$
Aua, wie war das mit der Grammatik??
Ich hatte nicht gefragt, auf was die -4 abgebildet wird, sondern welche reelle Zahl x auf die -4 (aus dem ZIELBEREICH - darum geht es doch in der Surjektivität) abgebildet wird.
Löse also [mm]x^2=-4[/mm] nach x auf.
Geht im Reellen nicht, also gibt es zu -4 kein Urbild
> Also ist es nicht
> surjektiv,weil zu den rellen Zahlen auch die negativen
> Zahlen gehören,aber weil wir hier ein Quadrat
> haben,können die nie rauskommen,also nie das Bild sein ?
Ja, bisschen kraus gesagt, aber richtig.
Vllt. solltest du besser von Def.- und Zielbereich sprechen, damit klar ist, dass du das Richtige meinst!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Di 19.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo nochmal,
>
> > > Hallo Mandy,
> > >
> > > > > > Beispiel: [mm]f: \IR \to \IR, \ x \mapsto x^2[/mm]
> > > >
> > >
> > > > > > Der Zielbereich ist ganz [mm]\IR[/mm] aber die Bildmenge besteht
> > > > > > lediglich aus allen Quadratzahlen der Urbilder.
> > > >
> > > > Ich glaube ich habs verstanden.Also weil hier immer nur
> > > > Quadratzaheln rauskommen,ist die Funktion nicht surjektiv.
> > > > Wenn in der Bildmenge alle reellen Zahlen,also auch 1,3,5
> > > > usw. irgendwann rauskommen würden, wäre die Funktion
> > > > surjektiv?
> > >
> > > Naja, es ist aber doch [mm]1^2=1, \sqrt{3}^2=3, \sqrt{5}^2=5[/mm]
>
> >
> > >
> > > Zu allen nicht-negativen Zahlen aus dem Zielbereich gibt es
> > > schon ein Urbild, aber was ist mit den negativen Zahlen?
> > >
> > > Welches [mm]x\in\IR[/mm] wird etwa auf [mm]-4[/mm] abgebildet?
> >
> > Auf -4 wird doch 16 abgebildet.
>
> [hae] [mm]16\mapsto 16^2\neq -4[/mm]
>
> Aua, wie war das mit der Grammatik??
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> Ich hatte nicht gefragt, auf was die -4 abgebildet wird,
> sondern welche reelle Zahl x auf die -4 (aus dem
> ZIELBEREICH - darum geht es doch in der Surjektivität)
> abgebildet wird.
>
> Löse also [mm]x^2=-4[/mm] nach x auf.
>
> Geht im Reellen nicht, also gibt es zu -4 kein Urbild
Aaaahhhhhhhh.Jetzt ist mir ein Licht aufgegangen...endlich!
Ok,jetzt ist es klar.
Vielen Dank =)
>
> > Also ist es nicht
> > surjektiv,weil zu den rellen Zahlen auch die negativen
> > Zahlen gehören,aber weil wir hier ein Quadrat
> > haben,können die nie rauskommen,also nie das Bild sein ?
>
> Ja, bisschen kraus gesagt, aber richtig.
>
> Vllt. solltest du besser von Def.- und Zielbereich
> sprechen, damit klar ist, dass du das Richtige meinst!
>
> LG
>
> schachuzipus
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