injektiv,surjektiv,bijektiv? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Di 25.10.2005 | | Autor: | Mellen |
Ich habe folgende Aufgabe vor mir liegen:
Untersuche nach ob die folgende Abbildung Injektiv oder surjektiv ist?
[mm] f:\cal{P}(M) [/mm] -> [mm] \cal{P}(M), N\mapstoM\N, [/mm] wobei M eine belienige Menge ist.
Normalerweise weiß ich wie man eine Abbildung auf injektivität/surjektivität untersucht aber hierbei habe ich doch keine angabe zur abbildungsvorschrift. Das N auf [mm] M\N [/mm] abbgebildet wird bringt mich doch hier gar nich weiter, weil ich keien Angabe über N habe, oder? Ist es denn zwingend, dass NcM ist wenn man das kOmplement bilden kann?
Wäre schön wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Di 25.10.2005 | | Autor: | Mellen |
Leider hat die Darstellung nicht ganz geklappt.
f bildet N auf M \ N ab !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Di 25.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Offenbar ist $f$ injektiv:
Sind $N,N' [mm] \in {\cal P}(M)$ [/mm] mit $N [mm] \ne [/mm] N'$ beliebig gewählt, dann gibt es oBdA ein $m [mm] \in [/mm] N [mm] \setminus [/mm] N'$. Daraus folgt $m [mm] \in [/mm] M [mm] \setminus [/mm] N'$, aber $m [mm] \notin [/mm] M [mm] \setminus [/mm] N$, also
$f(N) = M [mm] \setminus [/mm] N [mm] \ne [/mm] M [mm] \setminus [/mm] N' = f(N')$.
Weiterhin ist $f$ auch surjektiv:
Ist $N' [mm] \in {\cal P}(M)$ [/mm] beliebig gewählt, dann gilt für $N:= M [mm] \setminus [/mm] N' [mm] \in {\cal P}(M)$:
[/mm]
$f(N) = [mm] f(M\setminus [/mm] N') = M [mm] \setminus [/mm] (M [mm] \setminus [/mm] N') = N'$,
fertig. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Di 25.10.2005 | | Autor: | Mellen |
Danke Stefan für die schnelle Antwort.
Eine Frage habe ich noch. Muss man bei der Injektivität nicht zeigen dass
f (N) = f (N`) => N = N` (aus A folgt B)?
Du hast jetzt einfach bewiesen das aus nicht A nicht B folgt. Reicht das aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Di 25.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also, die Aussage
$f(x) = f(y) [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] x=y$
ist logisch äquivalent zu der Aussage
$x [mm] \ne [/mm] y [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] f(x) [mm] \ne [/mm] f(y)$.
Ich habe zweiteres gezeigt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 25.10.2005 | | Autor: | statler |
Auch hallo, Stefan!
>
> Offenbar ist [mm]f[/mm] injektiv:
>
> Sind [mm]N,N' \in {\cal P}(M)[/mm]
mit N [mm] \not= [/mm] N'
> beliebig gewählt, dann gibt es
> oBdA ein [mm]m \in N \setminus N'[/mm]. Daraus folgt [mm]m \in M \setminus N'[/mm],
> aber [mm]m \notin M \setminus N[/mm], also
>
> [mm]f(N) = M \setminus N \ne M \setminus N' = f(N')[/mm].
>
> Weiterhin ist [mm]f[/mm] auch surjektiv:
>
> Ist [mm]N' \in {\cal P}(M)[/mm] beliebig gewählt, dann gilt für [mm]N:= M \setminus N' \in {\cal P}(M)[/mm]:
>
> [mm]f(N) = f(M\setminus N') = M \setminus (M \setminus N') = N'[/mm],
>
> fertig.
>
Damit könnte auch die Rückfrage geklärt sein!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Di 25.10.2005 | | Autor: | Mellen |
Vielen Dank, jetzt habe auch ich alles verstanden :)
Gruß Ellen
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