www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Abbildungeninjektiv,surjektiv,bijektiv
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Lineare Abbildungen" - injektiv,surjektiv,bijektiv
injektiv,surjektiv,bijektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

injektiv,surjektiv,bijektiv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:20 Do 27.01.2011
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Seien X,Y,Z nichtleere Mengen, f: X [mm] \to [/mm] Y und g:Y [mm] \to [/mm] Z Abbildungen.
Zeigen Sie: Ist f surjektiv und g [mm] \circ [/mm] f:X [mm] \to [/mm] Z bijektiv, so sind f und g bijektiv.

Hallo,

ich bereite mich grad für die Klausur vor und rechne dafür ein paar Ünungsaufgaben, aber komme bei dieser nicht mehr weiter.
Ich weiß zunächst folgendes:

f surjektiv, d.h.: [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y: [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X:f(x)=Y

g [mm] \circ [/mm] f bijektiv, d.h.: injektiv: g [mm] \circ [/mm] f(x1)=g [mm] \circ [/mm] f(x2) --> x1=x2 und surjektiv: [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] Z: [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X:f(x)=Z.

Es gilt g [mm] \circ [/mm] f(x)=g(f(x))=Z, da f(x)=Y, weil f surjektiv ist, d.h. die Surjektivität von g ist gezeigt. Ich muss jetzt noch die Injektivität von f und g zeigen, da hab ich aber Probleme. Wenn ich schon wüsste, dass g injektiv, dann könnte ich auch zeigen, dass f injektiv ist, aber ich krieg die Inejktivität von g nicht hin. Könnte mir da vielleicht jemand einen Tipp geben?

Vielen Dank
lg

        
Bezug
injektiv,surjektiv,bijektiv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Do 27.01.2011
Autor: Lippel

Hallo,

> Seien X,Y,Z nichtleere Mengen, f: X [mm]\to[/mm] Y und g:Y [mm]\to[/mm] Z
> Abbildungen.
>  Zeigen Sie: Ist f surjektiv und g [mm]\circ[/mm] f:X [mm]\to[/mm] Z
> bijektiv, so sind f und g bijektiv.
>  Hallo,
>  
> ich bereite mich grad für die Klausur vor und rechne
> dafür ein paar Ünungsaufgaben, aber komme bei dieser
> nicht mehr weiter.
>  Ich weiß zunächst folgendes:
>  
> f surjektiv, d.h.: [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] Y: [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X:f(x)=Y
>  
> g [mm]\circ[/mm] f bijektiv, d.h.: injektiv: g [mm]\circ[/mm] f(x1)=g [mm]\circ[/mm]
> f(x2) --> x1=x2 und surjektiv: [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] Z: [mm]\exists[/mm] x
> [mm]\in[/mm] X:f(x)=Z.
>  
> Es gilt g [mm]\circ[/mm] f(x)=g(f(x))=Z, da f(x)=Y, weil f surjektiv
> ist, d.h. die Surjektivität von g ist gezeigt.

Ich sehe nicht, dass hier irgendetwas gezeigt wurde. Aus der Surjektivität von f allein kannst du nicht folgern, dass g surjektiv ist! Außerdem wendest du $g [mm] \circ [/mm] f$ auf eine Element $x [mm] \in [/mm] X$ an und bekommst eine Menge raus, das Bild eines Elements unter einer Abbildung darf aber immer nur ein Element aus dem Bildbereich sein, nie mehrere!
Nehme einfach mal an, g wäre nicht surjektiv. Dann gibt es ein $z [mm] \in [/mm] Z$, sodass es kein $y [mm] \in [/mm] Y$ gibt mit $g(y) = z$. Damit kannst du dir einen Widerspruch zur Bijektivität von $g [mm] \circ [/mm] f$ konstruieren, die ja vorausgesetzt ist.

> Ich muss
> jetzt noch die Injektivität von f und g zeigen, da hab ich
> aber Probleme. Wenn ich schon wüsste, dass g injektiv,
> dann könnte ich auch zeigen, dass f injektiv ist, aber ich
> krieg die Inejktivität von g nicht hin. Könnte mir da
> vielleicht jemand einen Tipp geben?

1. f injektiv:
Wir nehmen an, f wäre nicht injektiv [mm] $\Rightarrow \exists x_1, x_2 \in [/mm] X: [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) \ldots$ [/mm] (versuche hier mal selbst weiter zu kommen)

2. g injektiv:
Wieder angenommen, g wäre nicht injektiv [mm] $\Rightarrow \exists y_1, y_2 \in [/mm] Y: [mm] g(y_1)=g(y_2) \Rightarrow$ [/mm] da f surjektiv gibt es [mm] $x_1, x_2 \in [/mm] X: [mm] f(x_1)=y_1, f(x_2)=y_2 \ldots$ [/mm] (überlege dir, was damit für $g [mm] \circ [/mm] f [mm] (x_1)$ [/mm] und $g [mm] \circ [/mm] f [mm] (x_2)$ [/mm] folgt, du erhälst einen Widerspruch zur Voraussetzung.

Du siehst vielleicht an meinem Vorgehen, dass es bei diesem Typ von Aufgaben günstig ist, Widerspruchsbeweise zu führen.

LG Lippel


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]