injektivität von funktionen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Mi 18.10.2006 | | Autor: | dau2 |
Hi,
habe hier in einem Mathe Script zum Thema Injektivität von Funktionen einen Nebensatz gefunden den ich nicht verstehe:
Eine Funktion ist injektiv wenn es für ein Element aus der Grundmenge ein Element in der Bildmenge, aber nicht 2 gibt.
^- soweit sollte es stimmen?
"Gleichwertig hierzu ist das aus f(x1)=f(x2) stets x1=x2 folgt"
^- Bedeutet das nun das wenn das Ergebnis also das Bild von f(x1) gleich dem Bild von f(x2) ist das dann x1=x2 aus dem Definitionsbereich identisch ist?
Mfg
dau2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Mi 18.10.2006 | | Autor: | slash |
Ja.
Genau das heißt es.
Injektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge HÖCHSTENS ein Urbild hat.
Das heißt, dass die Zielmenge durchaus mehr Elemente enthalten kann; auf jeden Fall aber so viel, dass es zu jedem y [mm] \in [/mm] Zielmenge ein x [mm] \in [/mm] Urmenge mit f(x) = y gibt.
Wenn nun [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] gilt, so gilt auch, dass [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mi 18.10.2006 | | Autor: | dau2 |
Bei der [mm] f(x)=x^2 [/mm] würde das bedeuten das man 2 "Ergebnisse" / "Bilder" hat wie zb f(3)=9 und f(?)=9 und sagen kann das das 2. Ergebnis f(3) sein muss weil die Funktion inkektiv ist?
Mfg
dau2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Mi 18.10.2006 | | Autor: | der_emu |
[mm] f(x)=x^2 [/mm] ist NICHT injektiv denn aus f(x)=f(y) folgt nicht zwingend, dass x=y ist. Zum Beispiel ist f(3)=9 UND f(-3)=9.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Mi 18.10.2006 | | Autor: | dau2 |
Stimmt, habe vergessen den Definitions/Zielbereich festzulegen. N->N in diesem Fall - damit passt es mit der injektivität wieder.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mi 18.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
auch wenn der Definitionsbereich positiv ist, hast du einen leichten Dreher in der Logik:
wenn du weißt, dass f injektiv ist, kannst du daraus folgern, dass für f(x)=9 und f(y)=9 follgt, dass x=y(=3) ist.
es gilt aber auch umgekehrt:
für positive x, ist die Wurzel nämlich eindeutig, also für f(x)=9 folgt für [mm] x=\wurzel{9}=3 [/mm] und für f(y)=9 ebenso y=3
das gilt natürlich für alle Werte f(x)=f(y)=r , dann ist [mm] x=y=\wurzel{r}
[/mm]
(wenn positiver def.bereich)
also weißt du, dass aus f(x)=f(y) FOLGT, dass x=y ist.
also ist f injektiv.
die Aussagen sind also wirklich äquivalent.
viele Grüße
DaMenge
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