injetiv/surjektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 So 16.04.2006 | | Autor: | gulcan |
| Aufgabe | a)seien f: [mm] X\to [/mm] Y, g: Y [mm] \to [/mm] X Abbildungen mit g(f(x)) = x für alle [mm] x\inX.
[/mm]
Zeige, dass f injektiv und g surjektiv ist.
b) Die Abbildung f: [mm] \IR^{2} \to\IR^{2} [/mm] werde definiert durch
f(x,y) := (3x+2y , 4x+3y). Zeige, dass f bijektiv ist |
Wie soll ich vorgehen???
Für Hinweise, Lösungsansätze oder alles andere Hilfreiche wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
also ein Ansatz für Aufgabenteil a) wäre es ja, sich zu überlegen, wenn $f(g(x))=x$ gelten soll, was dann nicht passieren darf. Zum Beispiel:
- darf f zwei Elemente [mm] $y_1$ [/mm] und [mm] $y_2$ [/mm] auf das gleiche $x$ abbilden? Das heißt, [mm] $f(y_1)=f(y_2)=x$?
[/mm]
- wie sieht das gleiche bei $g$ aus?
Also um genau zu sein, ignoriere was in der Aufgabenstellung steht und überlege Dir was zwangsweise gelten muss. Dann kannst Du dieses auch noch recht gut per Widerspruch beweisen und Du wirst feststellen, dass das was gelten muss, genau der Aufgabenstellung entspricht. Du kannst Dir dazu ja bildlich überlegen, was injektiv und surjektiv ist...
Für bijektiv muss man nur zeigen, dass es injektiv und surjektiv ist. Injektiv kannst Du über den Kern machen. Und wenn beide Räume gleiche Dimension über dem gleichem Körper haben... (beachte, sofern ich mich jetzt nicht vertue, sind das lineare Abbildungen)...
--
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mo 17.04.2006 | | Autor: | gulcan |
danke, ich werde es versuchen...
was ist mir b) ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mo 17.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
zu der b) hatte Matthias doch auch schon was gesagt (zweiter Absatz), aber ich kann es nochmal machen :
Hattet ihr schon den Satz : Eine lineare Abbildung von V nach V ist genau dann injektiv, wenn sie surjektiv ist ?
Wenn ja, dann kannst du schnell zeigen, dass die Abbildung injektiv ist, indem du den Kern berechnest (also alle Urbilder von (0,0) berechnen und sehen, dass das einzige Urbild nur (0,0) selbst ist)
Wegen obigen Satz hast du dann schon gezeigt, dass die Abbildung bijektiv ist (ob du zeigen musst, dass die Abbildung linear ist, musst du selbst entscheiden !! (evtl ist es mittlerweile schon "offensichtlich") Am Anfang lieber zu viel machen als zu wenig)
Wenn du obigen Satz nicht kennst, dann musst du noch Surjektivität zeigen, d.h. zu beliebigem Vektor (x,y) ein Urbild v angeben, so dass f(v)=(x,y)
[also Gleichungssystem lösen]
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 Mo 17.04.2006 | | Autor: | gulcan |
dimension, kern und die obige satz sind mir unbekannt, wir sind noch nicht so weit.
Wenn du obigen Satz nicht kennst, dann musst du noch Surjektivität zeigen, d.h. zu beliebigem Vektor (x,y) ein Urbild v angeben, so dass f(v)=(x,y)
[also Gleichungssystem lösen]
ich werde es gliech versuchen..
danke
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