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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Ackere mich gerade durchs Skript durch und hab zu einem gegebenen Beispiel
eine Frage:
Bsp.: Man nehme irgendeine Matrix A in GL(n,R). Dann ist [mm] A^{t}*A [/mm] positiv definit,also ist [mm] sigma_{A}:(v,w) [/mm] -> [mm] v*(A^{t}*A)*w^{t} [/mm] ein inneres Produkt auf [mm] V=R^{n}. [/mm] Speziell füt A=E ist (v,w) -> [mm] v*w^{t} [/mm] ein inneres Produkt, das gewöhnliche innere Produkt auf [mm] R^{n}
[/mm]
Meine Frage:Woher wissen die dass [mm] A^{t}*A [/mm] positiv definit ist?
Normalerweise muss man doch A immer auf Diagonalform umformen und dann
anhand der Diagonale die Definitheit ablesen...der?
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Hallo!
Die Positivdefinitheit zeigst du mit einer Eigenschaft des Standardskalarproduktes auf [mm] $\IR^n$: $\langle x;y\rangle [/mm] =x^Ty$.
Eine Matrix $B$ heißt postiv definit genau dann, wenn [mm] $\langle Bx;x\rangle>0$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR^n,\ x\ne [/mm] 0$.
Das ist die übliche Definition und dieses Kriterium musst du für $A^TA$ überprüfen:
[mm] $\langle A^TAx;x\rangle=(A^TAx)^Tx=x^TA^TAx=(Ax)^TAx=\langle Ax;Ax\rangle$.
[/mm]
Wegen der Positivdefinitheit des Skalaprodukts gilt: [mm] $\langle y;y\rangle\ge [/mm] 0$, wobei [mm] $\langle y;y\rangle=0$ [/mm] genau dann, wenn $y=0$ ist.
Also ist [mm] $\langle A^TAx;x\rangle=\langle Ax;Ax\rangle\ge [/mm] 0$ und [mm] $\langle A^TAx;x\rangle=\langle Ax;Ax\rangle=0$ [/mm] genau dann, wenn $Ax=0$. Da aber $A$ invertierbar ist, ist das genau dann der Fall, wenn $x=0$ ist...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Aha..also ich weiß wegen des Skalarproduktes dass A positiv definit sein muss...wozu muss ich dann das Ganze zeigen?
Was ich mich zusätzlich frage ist wozu es Abbildungsmatrizen für Bilinearformen gibt, denn es wird ja eigentlich immer in eine ganze Zahl abgebildet wenn z.b. der Körper R ist und Matrizen geben ja eigentlich Vektoren preis und keine ganzen Zahlen. Je mehr ich mich mit dem Thema beschäftige desto verwirrter werde ich.....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Reaper!
> Aha..also ich weiß wegen des Skalarproduktes dass A
> positiv definit sein muss...wozu muss ich dann das Ganze
> zeigen?
Nicht $A$ ist positiv definit, sondern $A^TA$ (aber nur dann, wenn $A$ invertierbar ist). Das ist aber so ohne Weiteres nicht klar, man muss es beweisen. Das hat banachella getan, indem sie gezeigt hat, dass
[mm] $\langle [/mm] A^TAx,x [mm] \rangle [/mm] >0$
ist für alle $x [mm] \ne [/mm] 0$. Hierbei hat sie im Beweis benutzt, dass das gewöhnliche Skalarprodukt positiv definit ist.
> Was ich mich zusätzlich frage ist wozu es
> Abbildungsmatrizen für Bilinearformen gibt, denn es wird ja
> eigentlich immer in eine ganze Zahl abgebildet wenn z.b.
> der Körper R ist und Matrizen geben ja eigentlich Vektoren
> preis und keine ganzen Zahlen. Je mehr ich mich mit dem
> Thema beschäftige desto verwirrter werde ich.....
Es ist so: Es kann ja sein, dass du eine abstrakte Bilinearform hast, zum Beispiel so etwas wie
$ [mm] \langle [/mm] f,g [mm] \rangle \mapsto \int\limits_{0}^1 [/mm] f(t) [mm] \overline{g(t)}\, [/mm] dt$
oder so etwas. Dann wünscht man sich, dass man dieses Skalarprodukt nicht immer so abstrakt schreiben muss, sondern dass man (nach Wahl einer festes Basis) das ganze nur noch mit Vektoren und Matrizen darstellen kann, deren Einträge Skalare (also Einträge aus dem Körper) sind.
Auf diese Weise kann man auch furchtbar abstrakte Bilinearformen auf Matrizenmultiplikationen zurückführen, also auf Bilinearformen der Art
[mm] $\langle [/mm] x,y [mm] \rangle_A [/mm] :=x^TAy$.
Das erleichtert die Handhabung.
Wie macht man das?
Man wählt sich eine feste Basis und wertet an dieser paarweise die Bilinearform aus. Die Einträge schreibt man in die Matrix $A$ (die sogenannte "Gramsche Matrix"). Jetzt kann man einfach beliebige Vektoren aus dem abstrakten Vektorraum nehmen, deren Koordinaten bezüglich der vorher festgelegten Basis bestimmen und die von rechts und links an diese Matrix dranmultiplizieren. Dann bekommen ich das Gleiche raus, als wenn ich mit den Ursprungsvektoren direkt die abstrakte Bilinearform ausgerechnet hätte.
Ist doch toll! 
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Danke....jetzt ist mir der Sinn klarer geworden.
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