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Hallo in der Vorlesung hatten wir ausgerechnet, dass für [mm] f(z)=z^n [/mm] , [mm] \gamma:[0,1]->\IC [/mm] mit [mm] y(t)=re^{2\pi*it} [/mm] das Integral [mm] \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz} =2\pi*i [/mm] für n=-1 und 0 sonst ist. Die Rechnung war leicht nachzuvollziehen aber trotzdem verstehe ich nicht ganz, wieso nur für n=-1. Was ist denn für alle anderen negativen n, dann würde das für z=0 auch schief gehen?! Woran liegt das denn theoretisch, dass [mm] z^{-1}=f(z) [/mm] keine Stammfunktion hat? was ist zb mit [mm] f(z)=\frac{1}{z^4}? [/mm]
Ich will dann mal als Übung zB das Integral [mm] \integral_{|z-1|=2}^{}{z^{-4}sin(z) dz} [/mm] auszurechnen...(mit der Cauchy-Integralformel?)
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 So 29.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo in der Vorlesung hatten wir ausgerechnet, dass für
> [mm]f(z)=z^n[/mm] , [mm]\gamma:[0,1]->\IC[/mm] mit [mm]y(t)=re^{2\pi*it}[/mm] das
> Integral [mm]\integral_{\gamma}^{}{f(z) dz} =2\pi*i[/mm] für n=-1
> und 0 sonst ist. Die Rechnung war leicht nachzuvollziehen
> aber trotzdem verstehe ich nicht ganz, wieso nur für n=-1.
> Was ist denn für alle anderen negativen n, dann würde das
> für z=0 auch schief gehen?! Woran liegt das denn
> theoretisch, dass [mm]z^{-1}=f(z)[/mm] keine Stammfunktion hat?
Für z [mm] \ne [/mm] 0 sei F(z):=Log(z) der Hauptzweig des Logarithmus.
Auf der negativen reellen Achse ist F nichtmal stetig, also auch nicht holomorph.
Bleibt man von der negativen reellen Achse weg , ist F holomorph und F'(z)=1/z
> was
> ist zb mit [mm]f(z)=\frac{1}{z^4}?[/mm]
f hat eine Stammfunktion auf [mm] \IC [/mm] \ {0}
> Ich will dann mal als Übung zB das Integral
> [mm]\integral_{|z-1|=2}^{}{z^{-4}sin(z) dz}[/mm] auszurechnen...(mit
> der Cauchy-Integralformel?)
Ja, setze f(z)=sin(z) und bemühe die Cauchy - Formel für f'''
FRED
> Lg
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Hey danke, wir hatten den Logarithmus garnicht... danke, jetzt weiss ich, was dahinter steckt. Das Inegral habe ich mit deinem Tipp ausgerechnet und bekomme [mm] \frac{-1}{3}\pi*i. [/mm] Die Frage ist jetzt wahrscheinlich ein wenig hohl, aber so um das zu verstehen, wieso kann ich nicht ganz blöd [mm] \integral_{|z-1|=2}^{}{z^{-4}sin(z) dz} [/mm] umformen zu [mm] \integral_{|z-1|=2}^{}{\frac{sin(z)z^{-3}}{z} dz} [/mm] und das mit dem normalen Cauchy ausrechnen?also das mein [mm] f(z)=sin(z)z^{-3} [/mm] ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 So 29.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hey danke, wir hatten den Logarithmus garnicht... danke,
> jetzt weiss ich, was dahinter steckt. Das Inegral habe ich
> mit deinem Tipp ausgerechnet und bekomme [mm]\frac{-1}{3}\pi*i.[/mm]
> Die Frage ist jetzt wahrscheinlich ein wenig hohl, aber so
> um das zu verstehen, wieso kann ich nicht ganz blöd
> [mm]\integral_{|z-1|=2}^{}{z^{-4}sin(z) dz}[/mm] umformen zu
> [mm]\integral_{|z-1|=2}^{}{\frac{sin(z)z^{-3}}{z} dz}[/mm] und das
> mit dem normalen Cauchy ausrechnen?also das mein
> [mm]f(z)=sin(z)z^{-3}[/mm] ist?
[mm] f(z)=sin(z)z^{-3} [/mm] hat in z=0 eine Singularität.
FRED
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