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Forum "Integralrechnung" - \integral e^3x/(e^2x+1)
\integral e^3x/(e^2x+1) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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\integral e^3x/(e^2x+1): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:02 Do 17.04.2014
Autor: Marie886

Guten Morgen :-)!

Folgendes Integral ist gefragt:

[mm] \integral\bruch{e^3^x}{(e^2^x+1)}dx [/mm]

zuerst habe ich den Nenner umgeschrieben:

[mm] \integral\bruch{e^3^x}{(1+e^2^x)}dx [/mm]

dann vereinfacht: [mm] \integral\bruch{e^3^x}{(1+(e^x)^2)}dx [/mm]

dann substituiert:  [mm] u=e^x [/mm]
                    [mm] \bruch{du}{dx}=e^x [/mm]   --> dx= [mm] \bruch{du}{e^x} [/mm]

[mm] \integral\bruch{e^3^x}{(1+u^2)}*\bruch{du}{e^x} [/mm]          da gilt: [mm] \bruch{a^r}{a^s}= a^r^-^s [/mm] -->   [mm] \bruch{e^3^x}{e^2^x}= e^3^x^-^2^x=e^x [/mm]

[mm] \integral e^x*\bruch{1}{1+u^2}*du= e^x*arctan(u)+c= e^x*arctan(e^x)+c [/mm]

Laut einem Integralrechner sollte aber dieser Ergebnis rauskommen:            

              [mm] -(tan^-^1(e^x)-e^x) [/mm]

ist mein Ansatz richtig oder muss ich eine andere Methode verwenden?
  
LG, Marie

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.




        
Bezug
\integral e^3x/(e^2x+1): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:31 Do 17.04.2014
Autor: DieAcht

Guten Morgen Marie,


> Guten Morgen :-)!
>  
> Folgendes Integral ist gefragt:
>  
> [mm]\integral\bruch{e^3^x}{(e^2^x+1)}dx[/mm]
>  
> zuerst habe ich den Nenner umgeschrieben:
>  
> [mm]\integral\bruch{e^3^x}{(1+e^2^x)}dx[/mm]
>  
> dann vereinfacht: [mm]\integral\bruch{e^3^x}{(1+(e^x)^2)}dx[/mm]

Wieso hast du das nicht auch mit dem Zähler gemacht? Es gilt:

      [mm] e^{3x}=(e^{x})^{3} [/mm] für alle [mm] x\in\IR. [/mm]

> dann substituiert:  [mm]u=e^x[/mm]
>                      [mm]\bruch{du}{dx}=e^x[/mm]   --> dx=

> [mm]\bruch{du}{e^x}[/mm]
>  
> [mm]\integral\bruch{e^3^x}{(1+u^2)}*\bruch{du}{e^x}[/mm]          da
> gilt: [mm]\bruch{a^r}{a^s}= a^r^-^s[/mm] -->   [mm]\bruch{e^3^x}{e^2^x}= e^3^x^-^2^x=e^x[/mm]

Im Nenner steht doch nur

      [mm] $e^{x}$ [/mm]

und nicht

      [mm] $e^{2x}$, [/mm]

sodass wir im Zähler

      [mm] $e^{3x-x}=e^{2x}=u^2$ [/mm]

erhalten.
  
> [mm]\integral e^x*\bruch{1}{1+u^2}*du= e^x*arctan(u)+c= e^x*arctan(e^x)+c[/mm]

Nein. [notok]

Du darfst erst dann integrieren, wenn kein $x$ mehr unter
dem Integral steht. Übrigens setzt man am Ende vor dem $du$
kein Multiplikationszeichen. Berechne

      [mm] \integral \bruch{u^2}{1+u^2}du. [/mm]

Tipp:

      [mm] \bruch{u^2}{1+u^2}=1-\frac{1}{1+u^2} [/mm] für alle [mm] u\in\IR. [/mm]

Jetzt aber. ;-)

> Laut einem Integralrechner sollte aber dieser Ergebnis
> rauskommen:            
>
> [mm]-(tan^-^1(e^x)-e^x)[/mm]

Ja, wobei die Integrationskonstante fehlt und ich das Minus-
zeichen auf jeden Fall noch reinziehen würde.

      [mm] \integral\bruch{e^3^x}{e^2^x+1}dx=e^x-tan^{-1}(e^x)+C. [/mm]
  
> ist mein Ansatz richtig oder muss ich eine andere Methode
> verwenden?

Der Ansatz ist in Ordnung. [ok]
  
> LG, Marie
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>
>
>  


Gruß
DieAcht
Bezug
                
Bezug
\integral e^3x/(e^2x+1): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:17 Do 17.04.2014
Autor: Marie886

Super! danke :-) Jetzt müsste es passen.

[mm] \integral \bruch{e^3^x}{(e^2^x+1)}dx=\integral \bruch{e^3^x}{(1+e^2^x)}dx=\integral \bruch{(e^x)^3}{(1+(e^x)^2)}dx= [/mm]

Substitution: [mm] u=e^x [/mm]
              [mm] \bruch{du}{dx}=e^x [/mm] --> [mm] dx=\bruch{du}{e^x}=>\bruch{du}{u} [/mm]

[mm] \integral\bruch{u^3}{1+u^2}\bruch{du}{u}=\integral\bruch{u^2}{1+u^2}du=\integral1-\frac{1}{1+u^2}=\integral 1du-\integral\bruch{1}{1+u^2}du=u-arctan(u)+c= e^x-arctan(e^x)+c [/mm]
Bezug
                        
Bezug
\integral e^3x/(e^2x+1): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Do 17.04.2014
Autor: fred97


> Super! danke :-) Jetzt müsste es passen.
>
> [mm]\integral \bruch{e^3^x}{(e^2^x+1)}dx=\integral \bruch{e^3^x}{(1+e^2^x)}dx=\integral \bruch{(e^x)^3}{(1+(e^x)^2)}dx=[/mm]
>  
> Substitution: [mm]u=e^x[/mm]
>                [mm]\bruch{du}{dx}=e^x[/mm] -->

> [mm]dx=\bruch{du}{e^x}=>\bruch{du}{u}[/mm]
>  
> [mm]\integral\bruch{u^3}{1+u^2}\bruch{du}{u}=\integral\bruch{u^2}{1+u^2}du=\integral1-\frac{1}{1+u^2}=\integral 1du-\integral\bruch{1}{1+u^2}du=u-arctan(u)+c= e^x-arctan(e^x)+c[/mm]

Jetzt past es !

FRED
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