integral{sqrt{1-x^2}dx} < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Do 26.03.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das folgende Integral:
[mm] \integral_{}^{}{\sqrt{1-x^2}dx} [/mm] |
Also ich hab ja ein D=[-1,1]
Da denkt man natürlich direkt an den sinus oder cosinus...
also
[mm] x=\sin(z)
[/mm]
[mm] \bruch{dx}{dz}=\cos(z)
[/mm]
[mm] dx=\cos(z)dz
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\sqrt{1-x^2}dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\sqrt{1-\sin(z)^2}*\cos(z)dz}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\sqrt{\cos(z)^2}*\cos(z)dz}
[/mm]
Jetzt habe ich ein Problem das [mm] \sqrt{\cos(z)^2} [/mm] aufzulösen...
[mm] \sqrt{\cos(z)^2}=|cos(z)|=...
[/mm]
Muss ich hier eine Falklunterscheidung machen? Denn [mm] W_{cos(z)}=[-1,1]
[/mm]
Oder bin ich hier auf dem Holzweg?
Danke und besten Gruß,
tedd ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Naja du musst natürlich beim substituieren die Integralgrenzen mitschleifen, also [mm] $$\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\ dx=\int_{\arcsin(-1)}^{\arcsin(1)}|\cos z|\cos [/mm] z \ [mm] dz=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2 [/mm] z\ dz$$ Denn auf diesem Intervall ist [mm] \cos z\ge [/mm] 0.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Do 26.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Naja du musst natürlich beim substituieren die
> Integralgrenzen mitschleifen, also [mm]\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\ dx=\int_{\arcsin(-1)}^{\arcsin(1)}|\cos z|\cos z \ dz=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2 z\ dz[/mm]
> Denn auf diesem Intervall ist [mm]\cos z\ge[/mm] 0.
>
> Gruß, Robert
Hallo,
es handelt sich um ein unbestimmtes Integral. Wozu argumentierst du mit Integrationsgrenzen?
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Ja ok, [mm] $|\cos z|\cdot \cos z=|\cos^2 z|=\cos^2 [/mm] z$, ganz gleich wo wir uns befinden. Ich dachte er will das Integral auf D:=[-1,1] berechnen.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Do 26.03.2009 | | Autor: | tedd |
> Ja ok, [mm]|\cos z|\cdot \cos z=|\cos^2 z|=\cos^2 z[/mm], ganz
> gleich wo wir uns befinden. Ich dachte er will das Integral
> auf D:=[-1,1] berechnen.
>
> Gruß, Robert
Hmmm...
wirklich? Nehmen wir an es sei [mm] z=\pi
[/mm]
dann ist
[mm] |\cos(\pi)|*cos(\pi)=|-1|*(-1)=-1\not=\cos(\pi)^2 [/mm] ?!
Danke und Gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Ohje... nur gut, dass du mitdenkst. Dann lass dir das mal von jemand anderem erklären :-P
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Do 26.03.2009 | | Autor: | tedd |
hehe alles klar
|
|
|
| |
|
Naja, du hast ja schon festgestellt, dass [mm]x \in [-1,1][/mm] gilt.
Durch die Substitution mit [mm]x = sin(z)[/mm] gilt dann natürlich (damit die Eindeutigkeit gewahrt bleibt) [mm]z \in [-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}][/mm] und dafür gilt [mm]cos(z) \ge 0[/mm] und damit
[mm]\sqrt{cos^2(z)} = cosz[/mm]
Nix mit Fallunterscheidung 
MfG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Do 26.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Naja, du hast ja schon festgestellt, dass [mm]x \in [-1,1][/mm]
> gilt.
>
> Durch die Substitution mit [mm]x = sin(z)[/mm] gilt dann natürlich
> (damit die Eindeutigkeit gewahrt bleibt) [mm]z \in [-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}][/mm]
Naja wieso, es könnte ja auch [mm] $z\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$ [/mm] sein. Auf diesem Intervall ist der Sinus immernoch injektiv.
> und dafür gilt [mm]cos(z) \ge 0[/mm] und damit [mm] \sqrt{\cos^2(z)}=\cos [/mm] z
... und dafür gilt [mm]\cos(z)\le 0[/mm] und damit [mm] \sqrt{\cos^2(z)}=-\cos [/mm] z
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Do 26.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Ja ok, [mm]|\cos z|\cdot \cos z=|\cos^2 z|=\cos^2 z[/mm], ganz
Das ist nun aber falsch, sobald cos z negativ ist. Dann ist [mm] \cos z|\cdot \cos [/mm] z negativ und damit nicht [mm] \cos^2x.
[/mm]
Gruß Abakus
Zurück zur Ausgangsaufgabe: Man sollte die Fallunterscheidung schon machen und am Ende durch Ableiten testen, ob beide Ergebnisse Stammfunktion sein können oder nur eins von beiden.
Um sich die partielle Integration von [mm] cos^{2} [/mm] x zu ersparen, kann man übrigens [mm] cos^2x=\bruch{1+cos(2x)}{2} [/mm] nutzen.
Gruß Abakus
> gleich wo wir uns befinden. Ich dachte er will das Integral
> auf D:=[-1,1] berechnen.
>
> Gruß, Robert
|
|
|
|
