integrale bei rotationskörpern < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Mi 17.05.2006 | | Autor: | uranos |
| Aufgabe 1 | | 1. Wie kann man die Oberflaeche eines Rotationskörpers berechnen? |
| Aufgabe 2 | | 2. Braucht man Grenzwertbetrachtungen auch fuer Körper, die eher in der Analytischen Geometrie verwendet werden? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
das sind die letzten beiden fragen einer mathematik-praesentation mit dem thema: integrale - nicht nur fuer flaechen nuetzlich.
zu frage 1: fuer die oberflaechenberechnung habe ich nur die guldinsche formel gefunden, die mit dem schwerpunkt eines koerpers arbeitet. ich soll die aufgabe aber mit integralen loesen. wie kann man vorgehen?
zu frage 2: sind damit die platonischen koerper gemeint, also z.b. tetraeder, wurfel?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Do 18.05.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Zur Oberfläche:
Schau dir doch bitte einmal die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers an, nämlich V(x) = [mm] \pi \integral_{a}^{b}{(f(x))² dx} [/mm] .
Mit dieser Formel berechnet man ja die Fläche der einzelnen, unendlich dünnen "Kreisscheiben" in dem Rotationskörper.
Übertragen wir das einmal auf die Oberfläche: Hier Jetzt suchst du nicht die Fläche der Kreisscheiben, sondern deren Umfang. Der Radius der Scheibe an der Stelle x ist ja f(x). Also hat die Scheibe an de Sctelle x eine Durchmesser von 2 [mm] \pi [/mm] f(x) . Insgesamt sollte also gelten:
O(x) = 2 [mm] \pi \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] .
Ich hoffe, ich habe bei dem Lösungsweg keinen komplett falschen Ansatz gewählt.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Fr 19.05.2006 | | Autor: | zerbinetta |
Hallo Marius,
> Zur Oberfläche:
>
> Schau dir doch bitte einmal die Formel für das Volumen
> eines Rotationskörpers an, nämlich V(x) = [mm]\pi \integral_{a}^{b}{(f(x))² dx}[/mm]
> .
>
> Mit dieser Formel berechnet man ja die Fläche der
> einzelnen, unendlich dünnen "Kreisscheiben" in dem
> Rotationskörper.
>
Das kann man so sagen.
> Übertragen wir das einmal auf die Oberfläche: Hier Jetzt
> suchst du nicht die Fläche der Kreisscheiben, sondern
> deren Umfang. Der Radius der Scheibe an der Stelle x ist ja
> f(x). Also hat die Scheibe an de Sctelle x eine Durchmesser
> von 2 [mm]\pi[/mm] f(x) . Insgesamt sollte also gelten:
> O(x) = 2 [mm]\pi \integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] .
>
Nein, das gilt nicht.
Gegenbeispiel: nehmen wir einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius r=1. Wenn wir einen geeigneten Ausschnitt desselben um die x-Achse rotieren lassen, erhalten wir eine Kugel mit Radius r=1. Beispielsweise eine Formelsammlung liefert, dass [mm]O=4 \pi r^2[/mm].
Versuchen wír doch mal mit deiner Formel auf das Ergebnis zu kommen:
nehmen wir die Kreislinie, die oberhalb der x-Achse verläuft, so ist die zugehörige Funktionsgleichung [mm]f(x)=\wurzel{1-x^2}[/mm] .
Dann bestimmen wir doch mal [mm]2* \pi \integral_{-1}^{1}{\wurzel{1-x^2} dx}[/mm] .
Das ist nicht ganz trivial, aber am Ende erhalten wir [mm] \pi^2 [/mm]. Und das ist definitiv nicht das Gleiche wie in der Formelsammlung...
(Sorry, dass diese Mitteilung nicht wirklich konstruktiv ist, aber eine Lösung fällt mir spontan auch nicht ein...)
Viele Grüße,
zerbinetta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Sa 20.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo uranus
Zur guldinischen Formel gehört 1. ne Querschnittsfläche, 2. Der Schwerpunkt.
diesen kann man allgemein nur mit nem Integral rauskriegen.
Zu 2: Wenn dein Lehrer findet, dass man in anal. Geometrie nur Ebenen und Geraden behandelt dann handelt es sich um Polyeder. i.A, kommen aber auch Kugeln, Paraboloide, Ellipsoide usw. in der analk. Geom. vor.
ich würd die LehrerIn um ne Präzisierung bittenZu 1. siehe auch:
![[]](/images/popup.gif) hier
Gruss leduart
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