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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Fr 16.10.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ich würde gerne den wert des integrals:
[mm]w= \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\int_{-\infty}^{y} x e^{-\bruch{x^2}{2}}[/mm]
um anschließend den
[mm]CVar=\bruch{w}{\alpha}[/mm]
zu bestimmen. In sämtlicher Literatur findet man zwar das Ergebnis für den conditional CVar (bei Normalverteilung) aber keine herleitung des wertes des oberen integrals.
vielen dank für eure hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Disap |
Hallo vivo!
> ich würde gerne den wert des integrals:
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> [mm]w= \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\int_{-\infty}^{y} x e^{-\bruch{x^2}{2}}[/mm]
> um anschließend den
>
> [mm]CVar=\bruch{w}{\alpha}[/mm]
>
> zu bestimmen. In sämtlicher Literatur findet man zwar das
> Ergebnis für den conditional CVar (bei Normalverteilung)
> aber keine herleitung des wertes des oberen integrals.
Du willst das obige Integral berechnen? Nach dx?
Womit? Entweder du benutzt partielle Integration oder du benutzt Integration durch Substitution.
Setze z. B. z:= [mm] x^2
[/mm]
"In sämtlicher Literatur": Im Bronstein steht das Integral bestimmt drin. Zudem ist es auch nicht so schwer, es selbst zu berechnen. Hast du die Aufgabe auch richtig abgeschrieben?
Bei Schwierigkeiten frag einfach noch mal.
MfG
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Fr 16.10.2009 | | Autor: | Disap |
> [mm]w= \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\int_{-\infty}^{y} x e^{-\bruch{x^2}{2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\int^y_{-\infty} x*e^{-0.5x^2} dx$
Setze $z:= x^2$ => $z' = 2x$
=> $dz = dx/ z' = dx/(2x)$
=>
$\int^y_{-\infty} x*e^{-0.5x^2} dx$
Grenzen lasse ich jetzt mal bewusst weg
$ =\int x*e^{-0.5z} \frac{dz}{2x} = 0.5 * \int e^{-0.5z}dz$
$= 0.5*\frac{1}{-0.5}e^{-0.5z} = - e^{-0.5z} $
Rücksubstitution
$=-e^{-0.5x^2}$
Die ursprünglichen Grenzen waren y und -\infty
=>$[-e^{-0.5x^2}]^y_{-\infty} = - e^{-0.5*y^2)$
Weil $e^{-0.5*(-\infty)^2} = e^{-0.5*(+\infty)} = e^{-\infty} = 0$
Als Mathematiker darf man das so nicht schreiben, aber da jeder weiß, wie es gemeint ist, ist es so auch okay :)
Und dann gabs noch einen Vorfaktor vor dem Integral,...
Disap
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